Топологи́ческое те́нзорное произведе́ние локально выпуклых пространств $E_1$ и $E_2$, локально выпуклое пространство, обладающее свойством универсальности по отношению к заданным на $E_1 \times E_2$ билинейным операторам с некоторым условием непрерывности. Точнее, пусть $\mathscr{K}$ – некоторый класс локально выпуклых пространств и для каждого $F \in \mathscr{K}$ задано подмножество $T(F)$ множества раздельно непрерывных билинейных операторов из $E_1 \times E_2$ в $F$. Тогда топологическим тензорным произведением $E_1$ и $E_2$ [относительно класса $T(F)$] называется локально выпуклое пространство $E_1 \bar{\otimes} E_2 \in \mathscr{K}$ вместе с оператором $B \in T\left(E_1 \tilde{\otimes} E_2\right)$, обладающее следующим свойством: для любого $S \in T(F)$, $F \in \mathscr{K}$, существует единственный непрерывный линейный оператор $R: E_1 \tilde{\otimes} E_2 \rightarrow F$ такой, что $R \circ B=S$. Таким образом, если ситуация позволяет говорить о функторе $T: \mathscr{K} \rightarrow \operatorname{Set} s$, то $E_1 \tilde{\otimes} E_2$ определено как представляющий объект этого функтора.

Во всех известных примерах $\mathscr{K}$ содержит поле комплексных чисел $\mathbb{C}$, а $T(\mathbb{C})$ содержит все билинейные функционалы вида $f \circ g: f \in E_1^*$, $g \in E_1^*$, переводящие$(x, y)$ в $f(x) g(y)$. В этом случае если топологическое тензорное произведение существует, то в $E_1 \tilde{\otimes} E_2$ есть плотное подпространство, которое можно отождествить с пространством $E_1 \otimes E_2$ алгебраического тензорного произведения; при этом $B(x, y)=x \otimes y$.

Если $\mathscr{K}$ состоит из всех раздельно (соответственно, совместно) непрерывных билинейных операторов, то топологическое тензорное произведение называется индуктивным (соответственно, проективным). Наиболее важно проективное топологическое тензорное произведение. Пусть $\left\{p_i\right\}$ – определяющие семейства полунорм в $E_i$, $i=1,2$; через $\pi$ обозначается топология в $E_1 \otimes E_2$, определённая семейством полунорм

$$\begin{gathered} \left\{p_1 \hat{\otimes} p_2\right\}: p_1 \hat{\otimes} p_2(u)= \\ =\inf \left\{\sum_{k=1}^n p_1\left(x_k\right) p_2\left(x_k\right): \sum_{k=1}^n x_k \otimes y_k=u\right\}. \end{gathered}$$Тогда если $\mathscr{K}$ – класс всех (соответственно, всех полных) локально выпуклых пространств, то проективное топологическое тензорное произведение $E_1$ и $E_2$ существует и его локально выпуклое пространство есть $E_1 \otimes E_2$ с топологией $\pi$ (соответственно, его пополнение). Если $E_i$ – банаховы пространства с нормами $p_i$, $i=1,2$, то $p_1 \widehat{\otimes} p_2$ – норма в $E_1 \otimes E_2$, пополнение по которой обозначается через $E_1 \widehat{\otimes} E_2$. Элементы $E_1 \otimes E_2$ имеют для каждого $\varepsilon>0$ представление

$$u=\sum_{k=1}^{\infty} x_k \otimes y_k,$$где

$$\sum_{k=1}^{\infty} p_1\left(x_k\right) p_2\left(y_k\right) \leqslant p_1 \widehat{\otimes} p_2(u)+\varepsilon.$$Если снабдить $E_1 \otimes E_2$ более слабой, чем $\pi$, топологией с помощью семейства полунорм $p_1 \underset{\vee}{\otimes} p_2$:

$$p_1 \underset{\vee}{\otimes} p_2(u)=\sup _{f, g \in V \times W} \left|(f \otimes g) \left(u\right) \right|,$$где $V$ и $W$ – поляры единичных шаров относительно $p_1$ и $p_2$, то возникает топологическое тензорное произведение, иногда называемое слабым. Локально выпуклые пространства $E_1$, обладающие тем свойством, что для любого $E_2$ обе топологии в $E_1 \otimes E_2$ совпадают, образуют важный класс ядерных пространств.

Проективное топологическое тензорное произведение связано с понятием свойства аппроксимации: локально выпуклое пространство $E_1$ обладает свойством аппроксимации, если для каждого предкомпактного множества $K \subset E_1$ и окрестности нуля $U$ существует непрерывный оператор конечного ранга $\varphi: E_1 \rightarrow E_1$ такой, что для всех $x \in K$ $x-\varphi(x) \subset U$. Все ядерные пространства обладают свойством аппроксимации. Банахово пространство $E_1$ обладает свойством аппроксимации тогда и только тогда, когда для любого банахова пространства $E_2$ оператор $\tau:\left[E_1 \widehat{\otimes} E_2\right] \rightarrow\left(E_1^* \otimes E_2^*\right)^*$, однозначно определённый равенством $\tau(x \otimes y)](f \otimes g)=f(x) g(y)$, имеет нулевое ядро. Построено (Enflo. 1973) сепарабельное банахово пространство без свойства аппроксимации (и тем самым доказано существование банаховых пространств без базиса Шаудера, поскольку последние всегда имеют свойство аппроксимации, – т. е. отрицательно решена т. н. проблема базиса С. Банаха).