Ти́хоновская регуляриза́ция (метод регуляризации), метод построения приближённых решений некорректных задач, состоящий в том, что в качестве приближённых решений некорректных задач (точнее – некорректно поставленных задач) берутся значения регуляризирующего оператора с учётом приближённого характера исходной информации.

Для определённости ниже рассматривается задача нахождения решений функциональных уравнений вида $Az=u$, в которых $z$ и $u$ – элементы метрических пространств $F$ и $U$ с расстоянием $\rho_{F}(\cdot,\cdot)$ и $\rho_{U}(\cdot,\cdot)$. Если, например, $A$ – вполне непрерывный оператор, то решения такого уравнения не обладают свойством устойчивости к малым изменениям правой части $u$. Пусть вместо точных значений исходной информации $(\bar{A},\bar{u})$ даны их приближения $(\tilde{A},\tilde{u})$. B этих условиях речь может идти лишь о нахождении приближений к решению $\bar z$ уравнения $\bar{A}z=\bar{u}$. Нельзя в качестве приближённого решения некорректно поставленных задач такого вида с приближённой исходной информацией $(\tilde{A},\tilde{u})$ брать точное решение уравнения $\tilde{A}z=\tilde{u}$, так как такого решения может не существовать, а если оно и существует, то не будет устойчивым к малым изменениям исходной информации и, следовательно, такое «решение» может не допускать физической интерпретации. В дальнейшем полагается для простоты, что приближённой может быть лишь правая часть $u$, а оператор $A$ задан точно.

Пусть $\delta$ – оценка уклонения $\tilde{u}$ от $\bar{u}$, т. е. расстояния $\rho_{U}(\tilde{u},\bar{u})$, и $F_{0}\subset F$ – заданный класс возможных решений (моделей сравнения). Естественно искать приближённые решения уравнения $Az=\tilde{u}$ среди элементов $z\in F_0$, сопоставимых с исходной информацией, т. е. таких, что $\rho_{U}(Az,\tilde{u})\leqslant\delta$. Пусть $F_{\delta}$ – множество всех таких элементов из $F_{0}$. Если в выбранном классе $F_{0}$ возможных решений нет элементов (например, функций $z(s)$), сопоставимых с исходными данными, то это значит, что элементы $z$ из $F_{0}$ имеют слишком упрощённую (грубую) структуру. В этом случае надо расширять класс $F_{0}$, беря, возможно, последовательность расширяющихся классов $F_{0}\subset F_{1}\subset\dots\subset F_{n}\subset\dots$, пока не найдется класс $F_{n}$, содержащий элементы (например, функции), сопоставимые с исходными данными.

Если $F_{n}$ не пусто, то оно может содержать существенно отличающиеся друг от друга элементы (функции). В таких случаях одно лишь требование сопоставимости возможных решений с исходными данными не может служить критерием нахождения однозначно определённых приближённых решений уравнений $Az=\tilde{u}$, так как нет достаточных оснований для выбора в качестве приближённого решения того или иного сопоставимого элемента из $F_{n}$.

Для однозначного определения устойчивых решений необходим некоторый принцип отбора сопоставимых с $\tilde{u}$ решений. Обычно его формулируют, пользуясь смыслом задачи. Такой отбор может быть произведен, например, по принципу выбора элемента (функции) из $F_{n}$, имеющего минимальную сложность. Понятие сложности элемента $z$ может быть формализовано, например, с помощью функционалов сложности $\Omega[z]$ – непрерывных, неотрицательных и удовлетворяющих некоторым специальным условиям (см. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., 1979). За меру сложности элемента $z$ принимается значение функционала $\Omega[z]$. Так, если элементами $z$ являются непрерывные на отрезке $[a,b]$ функции $z(s)$ класса $W_{2}^{1}$, то функционал сложности $\Omega[z]$ можно взять, например, в виде
$$\Omega[z]=\int_{a}^{b}\left\{z^{2} +\left(\frac{dz}{ds}\right)^{2}\right\}\,ds.$$Желание искать приближённые решения уравнений $Az=\tilde{u}$ среди простейших элементов (функций), сопоставимых с исходными данными, приводит к задаче нахождения элемента из $F_{\delta}$, минимизирующего $\Omega[z]$ на $F_{\delta}$. Если оператор $A$ линейный и функционал $\Omega[z]$ не имеет локальных минимумов на области своего определения $F_{\Omega}$, то эта задача может быть сведена (см. подробнее в Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., 1979) к задаче нахождения элемента $z_{\alpha}$ из множества $F_{\delta}\cap F_{\Omega}$, минимизирующего функционал $$M^\alpha[z,A,\tilde{u}] =\rho_{U}^{2}(Az,\tilde{u})+\alpha\Omega[z].$$Значение параметра $\alpha$ (параметра регуляризации) должно быть согласовано с уровнем погрешности исходных данных. Его можно определить, например, по невязке, т. е. из условия $\rho_{U}(Az_{\alpha},\tilde{u})=\delta$, если известно число $\delta$. Но возможны и другие способы определения $\alpha$ (см. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., 1979). Таким образом, параметр $\alpha$ должен зависеть от $\delta$ и $\tilde{u}$, $\alpha=\alpha(\delta,\tilde{u})$. Элемент $z_{\alpha(\delta,\tilde{u})}$ и принимается за приближённое решение уравнения $A z=\tilde{u}$. Это и есть одна из форм разработанного в статьях Тихонова А. Н. (1963) метода регуляризации. Аналогично строятся приближённые решения уравнений $\tilde{A}z=\tilde{u}$ с приближённо заданными оператором $\tilde{A}$ и правой частью $\tilde{u}$. При этом минимизируется функционал типа $M^{\alpha}[z,\tilde{A},\tilde{u}]$. Возможны и другие формы метода регуляризации и применение его к иным классам задач (см. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., 1979). Метод регуляризации развит и для решения нелинейных задач.