Теоре́ма Тоне́лли, теорема о конечности площади непрерывной поверхности, заданной явным уравнением: пусть действительнозначная функция f(x,y) задана на прямоугольнике D0=[a,b]×[c,d]; тогда:
а) для того чтобы непрерывная поверхность z=f(x,y), (x,y)∈D0, имела конечную площадь, равную S(f,D0), необходимо и достаточно, чтобы функция f(x,y) имела конечную плоскую вариацию Тонелли на D0;
б) если имеет место утверждение а), то
S(f,D0)⩾ ∫∫D0[1+(∂x∂f)2+(∂y∂f)2]1/2dxdy≡≡L(f,D0),причём площадь
S(D)≡S(f,D),D=[α,β]×[γ,δ]⊂D0,является непрерывной аддитивной функцией прямоугольника и почти для всех точек (x,y)∈D0
справедливо равенство
S′(x,y)≡[1+(∂x∂f)2+(∂y∂f)2]1/2;в) для того чтобы имело место равенство S(f,D0)=L(f,D0), необходимо и достаточно, чтобы функция f(x,y) была абсолютно непрерывной на D0, а для этого необходимо и достаточно, чтобы площадь S(f,D) была абсолютно непрерывной функцией прямоугольника D⊂D0.
Эта теорема доказана Л. Тонелли (см. Tonelli. Sur la quadrature ... 1926; Tonelli. Sulla quadratura delle superficie. 1926, а также Tonelli. 1927), а утверждение а) даже для поверхностей, заданных параметрически, установлено С. Банахом (Banach. 1925) (в несколько иной терминологии).
Голубов Борис Иванович. Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1985.