Плоская вариация Тонелли
Пло́ская вариа́ция Тоне́лли, числовая характеристика функции двух переменных, с помощью которой определяется класс функций, имеющих ограниченную вариацию в смысле Тонелли. Пусть функция задана на прямоугольнике . Предполагается, что функции
и
измеримы по Лебегу (первая – на отрезке , вторая – на ). Если
то говорят, что функция имеет ограниченную (конечную) плоскую вариацию Тонелли на прямоугольнике , а класс всех таких функций обозначают . Это определение предложено Л. Тонелли (см. Tonelli. Sur la quadrature ... 1926; Tonelli. Sulla quadratura ... 1926). Однако для непрерывных функций другая характеристика класса (в терминах индикатрисы Банаха) содержится в более ранней работе С. Банаха (Banach. 1925). Если функция непрерывна на прямоугольнике , то для того, чтобы поверхность имела конечную площадь, необходимо и достаточно, чтобы функция принадлежала классу .