Теоре́ма Лиуви́лля, теорема о сохранении фазового объёма при движении механической системы, происходящем в соответствии с уравнениями Гамильтона. Установлена Ж. Лиувиллем в 1838 г.

Для геометрической интерпретации механического движения используется понятие фазового пространства – пространства $2n$ измерений, координатами которого являются обобщённые координаты $q_1,…, q_n$ и обобщённые импульсы $p_1,…, p_n$ данной механической системы ($n$ – число её степеней свободы). Каждая точка этого пространства отвечает некоторому состоянию системы. Изменение состояния системы со временем представляется как движение фазовой точки в $2n$-мерном пространстве. Элементарный объём фазового пространства равен $dV = dq_1...dq_ndp_1...dp_n.$ Тогда интеграл $ʃdV,$ взятый по области $G$ фазового пространства, равен объёму $V_G$ этой области и называется фазовым объёмом.

Если в начальный момент времени $t_0$ фазовые точки $(q^0, p^0)$ непрерывно заполняли некоторую область $G_0,$ а в момент времени $t > t_0$ заняли другую область $G$ этого пространства, то для системы, движение которой описывается уравнениями Гамильтона, согласно теореме Лиувилля соответствующие фазовые объёмы равны между собой: $V_G=V_{G0}$ при любом $t.$

Теорема Лиувилля является следствием того, что якобиан преобразования от переменных$(q^0, p^0)$ к переменным $(q, p)$ (т. е. якобиан канонического преобразования) согласно уравнениям Гамильтона равен единице.

Теорема Лиувилля играет важную роль в статистической физике, т. к. позволяет ввести функцию распределения плотности вероятности нахождения фазовой точки в элементе фазового объёма $dV$ и вывести для неё уравнение Лиувилля.