Теоре́ма Ка́рлемана о равноме́рном приближе́нии це́лыми фу́нкциями, если $f(x)$ – любая непрерывная функция на действительной оси, а $\varepsilon(r)$, $0<r<+\infty$, – положительная непрерывная функция, сколь угодно быстро убывающая при $r \rightarrow+\infty$, то существует целая функция $g(z)$ комплексного переменного $z=x+i y$ такая, что

$$|f(x)-g(x)|<\varepsilon(|x|),\quad -\infty<x<+\infty .$$Эта теорема, установленная Т. Карлеманом (Carleman. 1927), явилась исходным пунктом исследований по приближениям целыми функциями. В частности, континуум $E$ на плоскости $z$ называется континуумом Карлемана, если для любой непрерывной на $E$ комплексной функции $f(z)$ и произвольно быстро убывающей при $r \rightarrow \infty$ положительной функции $\varepsilon(r)$, нижняя грань которой на любом конечном интервале положительна, существует целая функция $g(z)$, удовлетворяющая неравенству

$$|f(z)-g(z)|<\varepsilon(|z|),\quad z \in E .$$Необходимые и достаточные условия, при которых замкнутое множество $E$ является континуумом Карлемана, получены в теореме Келдыша – Лаврентьева (Мергелян. 1952). Например, континуумом Карлемана является замкнутое множество, составленное из лучей вида

$$\arg z=\text { const, } \quad|z|>c>0 .$$