Фо́рма свя́зности, линейная дифференциальная форма $\theta$ на главном расслоенном пространстве $P$, которая принимает значения в алгебре $g$ структурной группы $G$ пространства $P$, определяется некоторой линейной связностью $\Gamma$ в $P$ и сама определяет эту связность однозначно. По связности $\Gamma$ значение формы связности $\theta_y(Y)$, где $y \in P$, $Y \in T_y(P)$, определяется как тот элемент в $g$, который в действии $G$ на $P$ порождает вторую компоненту вектора $Y$ относительно разложения в прямую сумму $T_y(P)=\Delta_y \oplus T_y\left(G_y\right)$, где $G_y$ – слой, содержащий $y$, а $\Delta$ – горизонтальное распределение связности $\Gamma$. По форме связности $\theta$ горизонтальное распределение $\Delta$, а тем самым и связность $\Gamma$, восстанавливается следующим образом.

Теорема Картана – Лаптева: чтобы некоторая форма $\theta$ на $P$ со значениями в $g$ была формой связности, необходимо и достаточно следующее: 1) при $Y \in T_y\left(G_y\right)$ значением $\theta_y(Y)$ является тот элемент в $g$, который в действии $G$ на $P$ порождает $Y$, 2) $g$-значная 2-форма

$$\Omega=d \theta+\frac{1}{2}[\theta, \theta],$$составленная из $\theta$, является полубазовой, или горизонтальной, т. е. $\Omega_y\left(Y, Y^{\prime}\right)=0$ , если хотя бы один из векторов $Y$ и $Y^{\prime}$ принадлежит $T_y\left(G_y\right)$. 2-форма $\Omega$ называется формой кривизны связности. Если в $g$ задан базис $\left\{e_1, \ldots, e_r\right\}$, то условие 2) выражается локально в виде равенств:

$$\begin{gathered} d \theta^\rho+\frac{1}{2} C_{\sigma \tau}^\rho \theta^\sigma \wedge \theta^\tau=\frac{1}{2} R_{i j}^\rho \omega^i \wedge \omega^j \\ (\rho, \sigma, \tau=1, \ldots, r;\,\, i, j=r+1, \ldots, r+n=\operatorname{dim} P), \end{gathered} \tag{*}$$где $\omega^1, \ldots, \omega^n$ – некоторые линейно независимые полубазовые 1-формы. В такой форме необходимость условия 2) установил Э. Картан (Cartan. 1926); его достаточность при выполнении условия 1) доказал Г. Ф. Лаптев (Лаптев. 1953). Уравнения (*) на компоненты формы связности называются структурными уравнениями связности в $P$, в них $R_{i j}^\rho$ составляют объект кривизны.

Пусть $P$, в качестве примера, является пространством аффинных реперов в касательных пространствах $n$-мерного гладкого многообразия $M$. Тогда $G$ и $g$ являются соответственно группой и алгеброй Ли матриц вида

$$\left\|\begin{array}{ll} 1 & a^i \\ 0 & A_j^i \end{array}\right\|, \quad \operatorname{det}\left|A_j^i\right| \neq 0,$$и

$$\left\|\begin{array}{ll} 0 & \mathfrak{A}^i \\ 0 & \mathfrak{A}_j^i \end{array} \right\| \quad(i, j=1, \ldots, n).$$В силу теоремы Картана – Лаптева $g$-значная 1-форма

$$\theta=\left\|\begin{array}{cc} 0 & \omega^i \\ 0 & \omega_j^i \end{array}\right\|$$на $P$ является формой связности некоторой аффинной связности на $M$ тогда и только тогда, когда

$$\begin{aligned} d \omega^i+\omega_j^i \wedge \omega^j & =\frac{1}{2} T_{j k}^i \omega^j \wedge \omega^k, \\ d \omega_j^i+\omega_k^i \wedge \omega_j^k &= \frac{1}{2} R_{j k l}^i \omega^k \wedge \omega^l. \end{aligned}$$Здесь $T_{j k}^i$ и $R_{j k l}^i$ составляют соответственно тензор кручения и тензор кривизны аффинной связности на $M$. Последние два уравнения на компоненты формы связности называются структурными уравнениями полученной на $M$ аффинной связности.