Смеще́ние из-за оши́бок в переме́нных (англ. errors-in-variables bias), смещение оценок коэффициентов регрессии, которое возникает из-за ошибок измерения значений регрессоров. Можно пояснить это на примере модели парной линейной регрессии $y_i=α+βz_i+u_i$, $i=1,…,n,$ со стохастической объясняющей переменной $z$, дисперсия которой равна $σ_z^2$.

Пусть для этой модели выполнены условия теоремы Гаусса – Маркова, так что оценка наименьших квадратов $\widehat{ \beta }$ является наилучшей линейной несмещённой оценкой параметра $β$. Предположим, что значение $z_i$ невозможно измерить точно, и в результате вместо истинного значения $z_i$ можно наблюдать только значение $x_i=z_i+v_i$, где $v_i$ – ошибка измерения. Пусть при этом $E(v_i )=0, \ D(v_i )=σ_v^2$, и для всех пар $i,j \ (i,j=1,…,n)$ $Cov(u_i,v_j )=0$, $Cov(z_i,v_j )=0$.

В результате вместо оценивания уравнения парной линейной регрессии переменной $y_i$ на константу и переменную $z_i$ оценивается уравнение парной линейной регрессии переменной $y_i$ на константу и переменную $x_i$. Поскольку значения $y_i$ остаются теми же, то исходное уравнение можно записать в виде:

$y_i=α+βz_i+u_i=α+β(x_i-v_i)+u_i=α+βx_i+(u_i-βv_i)=α+βx_i+ε_i,$

так что в уравнении парной линейной регрессии переменной $y_i$ на константу и переменную $x_i$ случайная ошибка равна $ε_i=u_i-βv_i$, и $Cov(x_i,ε_i )=Cov(z_i+v_i,u_i-βv_i )=-βσ_v^2$. Если $β>0$, то $x_i$ и $ε_i$ имеют отрицательную корреляцию; если $β<0$, то $x_i$ и $ε_i$ имеют положительную корреляцию. Это и приводит к смещению оценки наименьших квадратов в модели с ошибками в объясняющих переменных.

Получаемая оценка наименьших квадратов $\widehat{β}^ *$ не только имеет смещение при конечных $n$, но и оказывается несостоятельной, то есть даже при неограниченном увеличении количества наблюдений она не сходится к истинному значению $β$ по вероятности. Пределом по вероятности этой оценки является:

$p \lim_{n \rightarrow \infty } \widehat{β}^* =β- \frac{βσ_v^2}{σ_z^2+σ_v^2} =β- \frac{ β}{1+(σ_z^2/σ_v^2)} ,$

так что $\widehat{ β}^*$ не сходится по вероятности к $β$, за исключением случая, когда $σ_v^2=0$, то есть когда ошибки измерения $z_i$ отсутствуют.

В практических исследованиях возможное наличие ошибок измерений исследуемых факторов часто не принимают во внимание, поскольку если отношение дисперсий $σ_v^2/σ_z^2$ мало, то мало и расхождение между $p \lim_{n \rightarrow \infty } \widehat{ \beta } ^*$ и $β$. Однако если это не так, то это расхождение («асимптотическое смещение») может оказаться значительным.