Сфери́ческая гармо́ника степени $k$, сужение однородного гармонического многочлена $h^{(k)}(x)$ степени $k$ от $n$ переменных $x=(x_1,\ldots,x_n)$ на единичной сфере $S^{n-1}$ евклидова пространства $E^n$, $n\geqslant 3$. В частности, при $n=3$ сферическая гармоника – это классические сферические функции.

Пусть $x\in E^n$, $x\ne 0$, $r=|x|$, $x^\prime=x/r\in S^{n-1}$. Основным свойством сферической гармоники является свойство ортогональности: если $Y^{(k)}(x^\prime)$ и $Y^{(l)}(x^\prime)$ – сферические гармоники соответственно степеней $k$ и $l$, причём $k\ne l$, то

$$\int_{S^{n-1}}\,Y^{(k)}(x^\prime)Y^{(l)}(x^\prime)dx^\prime=0.$$Простейшими сферическими гармониками являются зональные сферические гармоники. Для любого $t^\prime\in S^{n-1}$ и любого $k>0$ существует зональная сферическая гармоника $Z_{t^\prime}^{(k)}(x^\prime)$, постоянная на любой параллели сферы $S^{n-1}$, ортогональной вектору $t^\prime$. Зональные сферические гармоники $Z_{t^\prime}^{(k)}(x^\prime)$ лишь постоянным множителем отличаются от многочленов Лежандра $P_k^{(\lambda)}$ при $n=3$ или от ультрасферических многочленов $P_k^{(\lambda)}$ при $n>3$:

$$Z_{t^\prime}^{(k)}(x^\prime)=c(k,n) P_k^{(\lambda)}(x^\prime t^\prime),$$где многочлены $P_k^{(\lambda)}$ определяются при $n\geqslant 3$ через производящую функцию

$$(1-2st+s^2)^{-\lambda}=\sum_{k=0}^\infty P_k^{(\lambda)}(t)s^k,$$$0\leqslant|s|<1$, $|t|=1$, $\lambda=(n-2)/2$. Многочлены $P_k^{(\lambda)}$, $k= 0, 1,\ldots,$ ортогональны с весом $(1-t^2)^{\lambda-1/2}$ и образуют ортогональный базис пространства $L^2([-1, 1]: (1-t^2)^{\lambda-1/2})$. Если $f(x^\prime)$ – функция из пространства $L^2(S^{n-1})$, причём $\int_{S^{n-1}} f(x^\prime)dx^\prime=0$, то существует единственный набор сферических гармоник $Y^{(k)}$ такой, что

$$f(x^\prime)=\sum_{k=1}^\infty Y^{(k)}(x^\prime),$$причём ряд сходится по норме $L^2(S^{n-1})$.

Разложения по сферическим гармоникам во многом аналогичны разложениям в ряды Фурье, обобщением которых они в сущности являются. Однородные гармонические многочлены $h^{(k)}(x)$ иногда называют пространственными сферическими гармониками. В силу однородности

$$h^k(x)=|x|^kY^{(k)}(x^\prime),$$в связи с чем сферические гармоники иногда называются также поверхностными сферическими гармониками.