Рекурре́нтные собы́тия в последовательности повторных испытаний со случайными исходами, ряд событий $A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots$ таких, что наступление события $A_n$ определяется исходами первых $n$ испытаний, $n=1,2, \ldots$, а при условии, что наступило событие $A_n$, наступление события $A_m$, $m>n$, определяется исходами $(n+1)$-го, $(n+2)$-го и так далее до $m$-го испытаний, причём при условии одновременного наступления событий $A_n$ и $A_m(m>n)$ исходы первых $n$ и последующих $m-n$ испытаний условно независимы.

Более точно, пусть $X$ – совокупность (конечная или счётная) всех исходов отдельного испытания, $X^{[1, n]}$ – пространство последовательностей $\left(x_1, \ldots, x_n\right)$, $x_i \in X$, $t=1, \ldots, n$, исходов при $n$ испытаниях, $n=1,2,3, \ldots$, и $X^{[1, \infty]}$ – пространство бесконечных последовательностей $\left(x_1, \ldots, x_n \ldots\right)$, $x_i \in X$, $i=1,2, \ldots, n, \ldots$, исходов, в котором задано некоторое распределение вероятностей $p$. Пусть в каждом пространстве $X^{[1, n]}$, $n=1,2, \ldots$, выделено некоторое подмножество $\varepsilon_n \subseteq X^{[1, n]}$ так, что для любых $n$ и $m$, $1 \leqslant n<m<\infty$, последовательность $\bar{x}=\left(\bar{x}_1, \ldots, \bar{x}_m\right) \in X^{[1, m]}$ такая, что $\bar{x}_1^n \equiv\left(\bar{x}_1, \ldots, \bar{x}_n\right) \in \varepsilon_n$, принадлежит $\varepsilon_m$ в том и только в том случае, когда последовательность

$$\bar{x}|_{n+1} ^m \equiv\left(\bar{x}_{n+1}, \ldots, \bar{x}_m\right) \in \varepsilon_{m-n} .$$Если последнее условие выполнено и $\bar{x} \in \varepsilon_m$, то

$$\begin{gathered} p\left\{x \in X^{[1, \infty)}:\left.x\right|_1 ^m =\bar{x}\right\}= \\ =p\left\{x \in X^{[1, \infty)}:x|_1 ^n=\bar{x}|_1 ^n\right\} p\left\{x \in X^{[1, \infty)}:\left.x\right|_{n+1} ^m=\left.\bar{x}\right|_{n+1} ^m\right\}, \end{gathered}$$где для последовательности $x=\left(x_1, \ldots, x_n, \ldots\right) \in X^{[1, \infty]}$ через $\left.x\right|_i$ обозначена последовательность

$$x|_{i=1}^j=\left(x_i, x_{i+1}, \ldots, x_j\right), \quad i \leqslant j,\quad(i, j)=1,2, \ldots$$Событие

$$A_n=\left\{x \in X^{[1, \infty)}:\left.x\right|_1 ^n \in \varepsilon_n\right\}$$называется рекуррентным событием, наступившим после $n$ испытаний.

Примеры. 1) В последовательности независимых бросаний монеты – события, состоящие, соответственно, в том, что при $n$ испытаниях герб и решка выпадут одинаковое число раз (такое событие возможно только при чётных $n$).

2) При случайном блуждании точки по одномерной решётке $Z^1$, начинающемся в нуле (с независимыми при разных шагах переходами в соседние точки с вероятностями $p$ и $q$, $p+q=1$), события, состоящие, соответственно, в том, что блуждающая точка окажется в нуле после $n$-го шага, $n=2,4, \ldots$, являются рекуррентными.