Разме́рностный многочле́н расширения дифференциальных полей, многочлен, описывающий количество производных констант в решении системы уравнений с частными производными и являющийся аналогом многочлена Гильберта.

Пусть $G$ – дифференциальное расширение дифференциального поля $F$. Максимальное подмножество поля $G$, дифференциально сепарабельно независимое над $F$, называется базисом дифференциальной сепарабельности. Базис дифференциальной сепарабельности расширения $G$ над $F$, дифференциально алгебраически независимый над $F$, называется дифференциальным базисом трансцендентности.

Пусть $G$ – конечно порождённое дифференциальное расширение: $G=F \left\langle\eta_1, \ldots, \eta_n\right\rangle$ и $\left(\eta_1, \ldots, \eta_n\right)$ – общий нуль простого дифференциального идеала $p \subset F\left\{Y_1, \ldots, Y_n\right\}$. Дифференциальная степень трансцендентности поля $G$ над $F$ называется дифференциальной размерностью идеала $p$ [она обозначается $d(p)$]. Если $q$ – другой простой дифференциальный идеал и $p \subset q$, то $d(p) \geqslant d(q)$, причём равенство может иметь место даже для строгого включения. По этой причине желательно иметь более тонкую меру для измерения идеалов.

Фильтрация кольца дифференциальных многочленов $F\left\{Y_1, \ldots, Y_n\right\}$ по степеням дифференцирований $\theta \in \Theta$ индуцирует фильтрацию полей расширения $G=F<\eta_1, \ldots, \eta_n>$ поля $F$:

$$F=\mathfrak{G}_0 \subset \mathfrak{G}_1 \subset \ldots \subset \mathfrak{G}_s \subset \ldots$$Существует (Kolchin. 1973) многочлен, значение которого в точках $s \in \mathbb{Z}$ для всех $s \geqslant N_0$ равно степени трансцендентности расширения $\mathfrak{G}_s$ поля $F$. Он называется размерностным многочленом расширения $\mathfrak{G}/ F$ и имеет вид

$$\omega_{\eta / F}(x)=\sum_{0 \leqslant i \leqslant m} a_i\left(\frac{x+i}{i}\right),$$где $m$ – мощность множества дифференцирований $\Delta$, а $a_i$ – целые. Разностный многочлен является бирациональным инвариантом поля, то есть $F(\eta)=F(\zeta) \Rightarrow \omega_{\eta / F}=\omega_{\zeta / F}$, но не является дифференциальным бирациональным инвариантом, т. е. из $F\langle\eta\rangle=F\langle\zeta\rangle$, вообще говоря, не следует, что $\omega_{\eta / F}=\omega_{\zeta / F}$. Тем не менее этот многочлен содержит в себе дифференциальные бирациональные инварианты, каковыми являются степень многочлена $\tau=\operatorname{deg} \omega_{\eta / F}$ (она называется дифференциальным типом расширения $F<\eta>$ над $F$) и старший коэффициент $a_\tau$ (называемый типовой дифференциальной размерностью). Среди дифференциальных разностных многочленов, соответствующих различным системам дифференциальных образующих дифференциального расширения, существует минимальный относительно некоторого отношения порядка на множестве всех целозначных многочленов, являющийся, таким образом, дифференциальным бирациональным инвариантом расширения.

Многочлен дифференциальной размерности определяется также и для дифференциальных модулей.

Размерностный многочлен вычислен для расширений, задаваемых следующими системами (Эйнштейн. 1966, где размерностный многочлен называется мерой жёсткости системы уравнений поля): 1) волновое уравнение; 2) уравнение Максвелла для пустого пространства; 3) уравнения электромагнитного поля, задаваемого потенциалами; 4) уравнения Эйнштейна для пустого пространства. Другие примеры вычисления размерностных многочленов см. в статье (Михалёв. 1980).