Расшире́ние ассоциати́вной а́лгебры $R$ над коммутативным кольцом $K$, гомоморфизм $\varphi: S \rightarrow R$ $K$-алгебры $S$ на алгебру $R$. Если $\operatorname{Ker} \varphi=I$ – алгебра с нулевым умножением, то расширение называется сингулярным. В этом случае на $I$ естественным образом вводится структура $R$-модуля. На множестве всех расширений ассоциативной алгебры $R$ с ядром $I$ вводится отношение эквивалентности (так же как для групп, модулей и т. д.), и множество классов, эквивалентных расширению, обозначается $F(R, I)$. Если алгебра $R$ является $K$-проективной, то алгебра $S$ разложима в прямую сумму $K$-модулей $S=I+R$ и элементы алгебры $S$ можно записать в виде пар $(u, r)$, $u \in I$, $r \in R$, которые перемножаются по правилу

$$\left(u_1, r_1\right)\left(u_2, r_2\right)=\left(u_1 r_2+r_1 u_2+a\left(r_1, r_2\right), r_1 r_2\right),$$где $a: R \otimes R \rightarrow I$. Ассоциативность умножения накладывает ограничения на функцию $a$, превращая её в коцикл. Сопоставление расширению его коцикла устанавливает изоморфизм $K$-модуля $F(R, I)$ со второй группой когомологий $H^2(R, I)$ алгебры $R$ с коэффициентами в $I$.

Расширением алгебры $R$ называют также алгебру, содержащую $R$. Такие расширения часто связаны с конкретной конструкцией (многочлены над $R$, локализация $R$, кольцо частных алгебры $R$ и т. п.). (См. также в статье Pacширение поля.)