Расшире́ние а́лгебры Ли $S$ с ядром $A$, алгебра Ли $G$ с эпиморфизмом $\varphi\colon G \rightarrow S$, ядром которого служит идеал $A \subset G$, это равносильно заданию точной последовательности$$0 \longrightarrow A \longrightarrow G \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} S \longrightarrow 0 .$$Расширение называется расщепимым, если существует подалгебра $S_1 \subset S$ такая, что $G=S_1 \oplus A$ (прямая сумма модулей). Тогда $\varphi$ индуцирует изоморфизм $S_1 \underset{\to}{\approx} S$, и потому определено действие алгебры $S$ на $A$ дифференцированиями. Обратно, по любому гомоморфизму $\alpha\colon S \rightarrow \operatorname{Der} A$, где $\operatorname{Der} A$ – алгебра дифференцирований алгебры $A$, однозначно строится расщепимое расширение $S \oplus A$ с законом умножения

$$\left[(s, a),\left(s^{\prime}, a^{\prime}\right)\right]=\left(\left[s, s^{\prime}\right], \alpha(s) a^{\prime}-\alpha\left(s^{\prime}\right) a+\left[a, a^{\prime}\right]\right) .$$Для конечномерных алгебр Ли над полем характеристики 0 справедлива теорема Леви: если $S$ полупроста, то всякое расширение алгебры $S$ расщепимо.

Из нерасщепимых расширений наиболее изучены абелевы расширения, т. е. расширения с абелевым ядром $A$. В этом случае действие алгебры $G$ на $A$ индуцирует действие алгебры $G / A \cong S$ на $A$, т. е. $A$ есть $S$-модуль. Для алгебр Ли над полем всякое абелево расширение алгебры $S$, ядром которого служит $S$-модуль $A$, имеет вид $S \oplus A$ со следующим законом умножения:$$\left[(s, a), \left(s^{\prime}, a^{\prime}\right)\right]=\left(\left[s, s^{\prime}\right], \alpha(s) a^{\prime}-\alpha\left(s^{\prime}\right) a+\psi\left(s, s^{\prime}\right)\right),$$где $\psi$ – некоторое линейное отображение $S \wedge S \rightarrow A$. Тождество Якоби равносильно тому, что $\psi$ – двумерный коцикл (см. Когомологии алгебр Ли). Расширения, которым эквивалентны когомологичные коциклы, эквивалентны в естественном смысле; в частности, расширение расщепимо тогда и только тогда, когда $\psi$ когомологичен нулю. Таким образом, абелевы расширения алгебры $S$ с ядром $A$ описываются группой когомологий $H^2(S, A)$. К случаю абелевых расширений сводится изучение расширений с разрешимым ядром.