Распределе́ние Ве́йбулла, специальный вид распределения вероятностей случайных величин $X_w$; характеризуется функцией распределения

$$F_w(t,p,\sigma,\mu)=\begin{cases}1-\exp\left\{-\left(\dfrac{t-\mu}{\sigma}\right)^p\right\}\ &\text{при } t>\mu,\\0 &\text{при } t\leqslant \mu, \end{cases}\tag{*}$$где $p$ – параметр формы кривой распределения, $\sigma$ – параметр масштаба, $\mu$ – параметр сдвига. Семейство распределений (*) названо по имени В. Вейбулла (Weibull. 1939), впервые использовавшего его для аппроксимации экспериментальных данных о прочности стали на разрыв при усталостных испытаниях и предложившего методы оценки параметров распределения (*). Распределение Вейбулла принадлежит к асимптотическому распределению третьего типа крайних членов вариационного ряда. Оно широко используется для описания закономерностей отказов шарикоподшипников, вакуумных приборов, элементов электроники. Частными случаями распределения Вейбулла являются экспоненциальное ($p=1$) и рэлеевское ($p=2$) распределения. Кривые функции распределения (*) не принадлежат семейству распределений Пирсона. Имеются вспомогательные таблицы для вычислений функции распределения Вейбулла (см. Гнеденко. 1965). При $\mu=0$ квантиль уровня $q$ равна $\sigma[-\ln(1-q)]^{1/p}$,

$$\begin{gathered} \mathsf{E}X_w^k=\sigma^k\Gamma\left(1+\frac kp\right),\quad k=1,2,\ldots,\\ \mathsf{D}X_w=\sigma^2\left[\Gamma\left(1+\frac2p\right) - \Gamma^2\left(1+\frac1p\right) \right], \end{gathered}$$где $\Gamma(x)$ – гамма-функция; коэффициент вариации, асимметрия и эксцесс не зависят от $\sigma$, что облегчает их табулирование и создание вспомогательных таблиц для получения оценок параметров. При $p\geqslant1$ распределение Вейбулла унимодально, мода равна $\sigma(p-1)^{1/p}$, а функция опасности отказов $\lambda(t)=pt^{p-1}/\sigma^p$ не убывает. При $p<1$ функция $\lambda(t)$ монотонно убывает. Можно построить т. н. вероятностную бумагу Вейбулла (см. Johnson. 1964). На ней $F_w(t,p,\sigma,0)$ трансформируется в прямую, при $\mu>0$ образ $F_w(t, p, \sigma, \mu)$ имеет вогнутость, а при $\mu<0$ – выпуклость. Оценки параметров распределения Вейбулла по методу квантилей приводят к уравнениям существенно более простым, чем по методу максимального правдоподобия. Совместная асимптотическая эффективность оценок параметров $p$ и $\sigma$ (при $\mu=0$) по методу квантилей максимальна (и равна $0{,}64$) при использовании квантилей уровня $0{,}24$ и $0{,}93$. Функция распределения (*) хорошо аппроксимируется функцией распределения логнормального распределения

$$\Phi\left(\frac{\ln(t-b)-a}{c}\right)$$($\Phi(x)$ – функция распределения нормированного нормального распределения, $-\infty<b<\infty$, $-\infty<a<\infty$, $c>0$):

$$\begin{split} \inf_{p,\sigma,a,c}\sup_{t}&\left|F_w(t,p,\sigma,0) - \Phi\left(\frac{\ln t-a}{c}\right)\right|=\\ &=\inf_{a,c}\sup_{t}\left|F_w(t,1,1,0)- \Phi\left(\frac{\ln t-a}{c}\right)\right|=0{,}038. \end{split}$$