Лине́йная фо́рма от логари́фмов алгебраи́ческих чи́сел, выражение вида

$$L=\beta_1 \log \alpha_1+\ldots+\beta_n \log \alpha_n .$$Эффективные оценки снизу для $|L|$ в предположении, что коэффициенты $\beta_1, \ldots, \beta_n$ – рациональные или алгебраические числа, а $\log \alpha_1, \ldots, \log \alpha_n$ – фиксированные ветви логарифмов, линейно независимые над полем $Q$, играют большую роль в теории чисел.

Когда $\beta_1, \ldots, \beta_n$ – рациональны, выполняется неравенство $|L|>e^{-c_1 B}$, где $B=\max \left|B_i\right|$, а $c_1>0$ и зависит только от чисел $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$. Методы, с помощью которых устанавливаются нетривиальные оценки снизу для $|L|$, принадлежат теории трансцендентных чисел. В случае $n=2$ ряд неравенств, справедливых для $B$, превосходящих некоторую эффективно вычислимую границу, получен А. О. Гельфондом (1935–1949). Лучшее из них имеет вид $|L|>e^{-\ln ^{2+\varepsilon_B}}$.

В 1948 г. им же доказано, что при любом $n$ для всех достаточно больших $B$ имеет место неравенство $|L|>e^{-\varepsilon B}$. Последний результат был, однако, лишь теоремой существования, а граница для $B$, начиная с которой выполнялось это неравенство, из доказательства не могла быть определена. Эффективные оценки $|L|$ при любом $n$ были получены в 1966 г. А. Бейкером (Baker. 1971) на основании метода Гельфонда.

Пусть $n \geqslant 2$, $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ – ненулевые алгебраические числа, высоты и степени которых не превосходят соответственно $A$ и $d$, $A \geqslant 4$, $d \geqslant 4$. Пусть, далее, $0<\varepsilon<1$ и $\log \alpha_1, \ldots, \log \alpha_n$ – главные значения логарифмов. Если существуют целые рациональные $b_1, \ldots, b_n$, $\left|b_i\right| \leqslant B$, такие, что

$$0<\left|b_1 \log \alpha_1+\ldots+b_n \log \alpha_n\right|<e^{-\varepsilon B},$$тo

$$B<\left(4^{n^2} \varepsilon^{-1} d^{2 n} \log A\right)^{(2 n+1)^2} .$$В связи с различными задачами получено большое количество эффектных оценок линейной формы от логарифмов. Степенная по порядку величины $B$ оценка для $|L|$ впервые была получена в 1968 г. Н. И. Фельдманом (Фельдман. 1968).

Пусть $n \geqslant 2$, $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ – алгебраические числа, $\log \alpha_1,\ldots \log \alpha_n$ – фиксированные ветви логарифмов, линейно независимые над $Q$. Существуют эффективные постоянные $c_2>0$, $\varkappa_1>0$ такие, что для любых алгебраических чисел $\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_n$, высота которых не превосходит $B$, имеет место неравенство

$$\left|\beta_0+\beta_1 \log \alpha_1+\ldots+\beta_n \log \alpha_n\right|>c_2 B^{-\varkappa_1}$$(постоянные $c_2$ и $\varkappa_1$ явно выписываются в зависимости от чисел $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ и степеней $\beta_0, \ldots, \beta_n$).

С помощью оценок линейной формы от логарифмов алгебраических чисел найдены границы для решений различных классов диофантовых уравнений (уравнений Туэ, гиперэллиптических уравнений, уравнений, задающих кривые рода I, и др.). Оценки линейной формы от логарифмов позволили определить границы для дискриминантов мнимых квадратичных полей с числом классов $1$ и $2$. В теории чисел применяются также $p$-адические аналоги теорем об оценках линейной формы от логарифмов алгебраических чисел.