Моноге́нная полугру́ппа (циклическая полугруппа), полугруппа, порождённая одним элементом. Моногенная полугруппа, порождённая элементом $a$, обозначается обычно $\langle a\rangle$ (иногда $[a]$) и состоит из всевозможных степеней $a^k$ с натуральными показателями. Если все эти степени различны, то $\langle a\rangle$ изоморфна аддитивной полугруппе натуральных чисел. В противном случае $\langle a\rangle$ конечна, и тогда число её элементов называется порядком полугруппы $\langle a\rangle$, а также порядком элемента $a$. Если $\langle a\rangle$ бесконечна, то говорят, что элемент $a$ имеет бесконечный порядок. Для конечной моногенной полугруппы $A=\langle a\rangle$ существует наименьшее число $h$ с тем свойством, что $a^h=a^k$ при некотором $k>h$; число $h$ называется индексом элемента (а также полугруппы $A$). Если при этом $d$ – наименьшее число с тем свойством, что $a^h=a^{h+d}$, то $d$ называется периодом элемента $a$ (полугруппы $A$). Пара $(h, d)$ называется типом элемента $a$ (полугруппы $A$). Для любых натуральных чисел $h$ и $d$ существует моногенная полугруппа типа $(h, d)$; две конечные моногенные полугруппы изоморфны тогда и только тогда, когда их типы совпадают. Если $(h, d$) – тип моногенной полугруппы $A=\langle a\rangle$, то элементы $a, \ldots, a^{h+d-1}$ различны и, следовательно, порядок $A$ равен $h+d-1$; множество

$$G=\left\{a^h, a^{h+1}, \ldots, a^{h+d-1}\right\}$$является в $A$ наибольшей подгруппой и наименьшим идеалом; единица $e$ группы $G$ будет единственным идемпотентом в $A$, причём $e=a^{l d}$ при любом $l$ таком, что $l d \geqslant h$; группа $G$ – циклическая группa, её порождающим элементом будет, например, $ae$. Идемпотент конечной моногенной полугруппы является в ней единицей (нулём) тогда и только тогда, когда её индекс (соответственно период) равен $1$; это эквивалентно тому, что данная моногенная полугруппа есть группа (соответственно нильпотентная полугруппa). Всякая подполугруппа бесконечной моногенной полугруппы является конечно порождённой полугруппой.