Оце́нка Пи́тмена, эквивариантная статистическая оценка параметра сдвига относительно группы вещественных сдвигов, имеющая минимальный риск при квадратичной функции потерь.

Пусть компоненты $X_1, X_2, \ldots, X_n$ случайного вектора $X=\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ суть независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же вероятностному закону, плотность вероятности которого принадлежит семейству

$$\{f(x-\theta),\quad|x|<\infty,\quad \theta \in \Theta=(-\infty,+\infty)\},$$причём

$$\mathsf{E}_\theta X_1^2=\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x-\theta)\, d x<\infty$$для любого $\theta \in \Theta$. Далее, пусть $G=\{g\}$ – группа вещественных сдвигов, действующая в пространстве реализаций $\mathbb{R}^1=(-\infty,+\infty)$ случайной величины $X_{i}$, $i=1,2, \ldots, n$,

$$G=\left\{g: g X_i=X_i+g,\quad|g|>\infty\right\} .$$В таком случае задача оценивания параметра $\theta$ будет инвариантной относительно квадратичной функции потерь $L(\theta, \hat{\theta})=(\theta-\hat{\theta})^2$, если в качестве $\hat{\theta}=\hat{\theta}(X)$ выбрать эквивариантную оценку. Э. Питмен (Pitman. 1939) показал, что эквивариантная оценка $\hat{\theta}(X)$ параметра сдвига $\theta$ относительно группы $G$, имеющая минимальный риск при квадратичной функции потерь, имеет вид

$$\hat{\theta}(X)=X_{(n 1)}-\frac{\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \prod_{i=2}^n f\left(x+Y_i\right) \,d x}{\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \prod_{i=2}^n f\left(x+Y_i\right) \,d x},$$где $Y_i=X_{(n i)}-X_{(n 1)}$, $X_{(n i)}$ есть $i$-я порядковая статистика, построенная по вектору наблюдений $X$. Оценка Питмена – несмещённая оценка, она является минимаксной в классе всех оценок параметра сдвига $\theta$ при квадратичной функции потерь, если все эквивариантные оценки параметра $\theta$ имеют конечные функции риска (Girshick. 1951).

Пример 1. Если

$$f(x-\theta)=e^{-(x-\theta)},\quad x \geqslant \theta,$$т. е. $X_i$, $i=1,2, \ldots, n$, подчиняется показательному закону с неизвестным параметром сдвига $\theta$, то оценка Питмена $\hat{\theta}(X)$ для $\theta$ выражается формулой

$$\hat{\theta}(X)=X_{(n 1)}-\frac{1}{n},$$причём её дисперсия равна $1 / n^2$.

Пример 2. Если

$$f(x-\theta)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\theta)^2}{2}},\quad|x|<\infty,$$т. е. $X_i$, $i=1,2, \ldots, n$, подчиняется нормальному $N(\theta, 1)$-закону с неизвестным математическим ожиданием $\theta$, то в этом случае среднее арифметическое

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\cdots+X_n\right)$$является оценкой Питмена.