Опера́торная эргоди́ческая теоре́ма, общее название теорем о пределе средних по неограниченно удлиняющемуся промежутку времени $n=0,1,\ldots,Ν$ или $0\leqslant t\leqslant T$ для степеней $\{A^n\}$ линейного оператора $A$, действующего в банаховом (или даже топологическом векторном, см. Каток. 1975) пространстве $E$, либо для действующей в $E$ однопараметрической полугруппы линейных операторов $\{A_t\}$. В последнем случае можно рассматривать также предел средних по неограниченно уменьшающемуся промежутку времени (локальные эргодические теоремы, см. Каток. 1975, Krengеl. 1977; говорят также об «эргодичности в нуле», см. Хилле.1962). Средние могут пониматься в различных смыслах аналогично тому, как это делается в теории суммирования рядов. Чаще всего используются средние Чезаро:

$$\bar{A}_N=\frac1N \sum_{n=0}^{N-1} \, A^n$$или

$$\bar{A}_T=\frac1T \int_0^T \, A_t\,dt,$$или средние Абеля:

$$\bar{A}_\theta=(1-\theta)\sum_{n=0}^\infty \theta^nA^n, \; |\theta|<1,$$или

$$\bar{A}_\lambda=\lambda\int_0^\infty e^{-\lambda t} A_t \, dt.$$Условия эргодических теорем заведомо обеспечивают сходимость подобных бесконечных рядов или интегралов; при этом, хотя абелевы средние образуются с участием всех $A^n$ или $A_t$, главную роль играют значения $A^n$ или $A_t$ на конечном отрезке времени, неограниченно возрастающем при $\theta\to 1$ (или $\lambda\to 0$). Предел средних ($\lim_{N\to\infty} \bar{A}_N$ и т. д.) тоже может пониматься в различных смыслах – в сильной или слабой операторной топологии (статистические эргодические теоремы, т. е. эргодическая теорема Неймана – исторически первая операторная эргодическая теорема и её обобщения), в равномерной операторной топологии (равномерные эргодические теоремы см.: Хилле. 1962; Данфорд. 1962;, Невё. 1969), а если $E$ реализовано как некоторое пространство функций на некотором пространстве с мерой, то и в смысле сходимости почти всюду средних $\bar{A}_N\varphi$ и т. п. при $\varphi\in E$ (индивидуальные эргодические теоремы, т. е. эргодическая теорема Биркгофа и её обобщения, см., например, эргодическая теорема Орнстейна – Чекона; их, впрочем, не всегда относят к операторным эргодическим теоремам). Некоторые из операторных эргодических теорем как бы сравнивают силу различных упомянутых выше вариантов, устанавливая, что из существования пределов средних в одном смысле следует существование пределов в другом смысле. В некоторых теоремах речь идёт не о пределе средних, а о пределе отношения двух средних (такова теорема Орнстейна – Чекона).

Имеются также операторные эргодические теоремы для $n$-параметрических и даже более общих полугрупп.