Нера́венство Ри́сса, общее название для двух неравенств в функциональном анализе.

1) Пусть $\{\varphi _{n}\}$ – ортонормированная система функций на отрезке $[a,b]$, $|\varphi _{n}|\leqslant M$ почти всюду на $[a,b]$ для любого $n$.

а) Если $f\in L^{p}[a,b]$, $1<p\leqslant 2$, то её коэффициенты Фурье

$$c_{n}=\int\limits _{a}^{b}f\,\overline \varphi_{n}\,dx$$удовлетворяют неравенству Рисса

$$\|\{c_{n}\}\|_{q}\leqslant M^{\frac 2p-1}\|f\|_{p}, \quad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} =1.$$б) Для любой последовательности $\{c_{n}\}$ с $\|\{c_{n}\}\|_{p}<\infty$, $1<p\leqslant 2$, существует функция $f\in L^{q}[a,b]$, имеющая $c_{n}$ своими коэффициентами Фурье и удовлетворяющая неравенству Рисса

$$\|f\|_{q}\leqslant M^{\frac 2p-1}\|\{c_{n}\}\|_{p}, \quad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} =1.$$2) Если $f\in L^{p}[0,2\pi]$, $1<p\leqslant \infty$, то сопряжённая функция $\overline{f}\;\in L^{p}[0,2\pi ]$ и справедливо неравенство Рисса

$$\|\overline{f}\;\|_{p}\leqslant A_{p}\|f\|_{p},$$где $A_{p}$ – постоянная, зависящая только от $p$.

Утверждение 1) впервые доказано Ф. Риссом (Riesz. 1923), частные случаи этого утверждения ранее рассматривали У. Янг (W. Young) и Ф. Хаусдорф (F. Hausdorf). Утверждение 2) впервые доказано М. Риссом (Riesz. 1928).