Ме́трика Леви́, метрика $L$ в пространстве $\mathscr{F}$ функций распределения одномерных случайных величин:

$$L \equiv L(F, G)=\inf \{\varepsilon: F(x-\varepsilon)- \varepsilon \leqslant G(x) \leqslant F(x+\varepsilon)+\varepsilon, \quad \forall x\}$$для любых $F, G \in \mathscr{F}$. Введена П. Леви (Lévy. 1937). Если между графиками функций $F$ и $G$ вписывать квадраты со сторонами, параллельными осям координат (в точках разрыва графики дополняются вертикальными отрезками), то сторона наибольшего из них равна $L$.

Метрику Леви можно рассматривать как частный случай метрики Леви – Прохорова. Определение метрики Леви переносится на множество $M$ всевозможных неубывающих функций, заданных на $\mathbb{R}^1$ (при этом допускаются бесконечные значения метрики).

Важнейшие свойства метрики Леви:

1) Метрика Леви индуцирует в $\mathscr{F}$ слабую топологию. Метрическое пространство $(\mathscr{F}, L)$ является сепарабельным и полным. Сходимость последовательности функций из $M$ в метрике $L$ эквивалентна полной сходимости.

2) Если $F \in M$ и

$$F_{-1}(x)=\inf \{t: F(t)<x\},$$то для любых $F, G \in M$

$$L(F, G)=L\left(F_{-1}, G_{-1}\right)$$3) Регулярность метрики Леви: для любых $F, G, H \in \mathscr{F}$

$$L(F * H, G * H) \leqslant L(F, G),$$следствием этого свойства является свойство полуаддитивности:

$$L\left(F_1 * F_2, G_1 * G_2\right) \leqslant L\left(F_1, G_1\right)+L\left(F_2, G_2\right)$$и «неравенство сглаживания»:

$$L(F, G) \leqslant L(F * H, G \times H)+2 L(E, H)$$($E$ – распределение, вырожденное в нуле).

4) Если $\alpha_k \geqslant 0$, $F_k, G_k \in \mathscr{F}$, то

$$L\left(\sum \alpha_k F_k, \sum \alpha_k G_k\right) \leqslant \max \left(1, \sum \alpha_k\right) \max L\left(F_k, G_k\right) \text {. }$$5) Если $\beta_r(F)$, $r>0$, – абсолютный момент распределения $F$, то

$$L(F, E) \leqslant\left\{\beta_r(F)\right\}^{r /(r+1)} .$$6) Метрика Леви на $M$ связана со средней метрикой

$$\rho_1=\rho_1(F, G)=\int|F(x)-G(x)| d x$$неравенством

$$L^2 \leqslant \rho_1 .$$7) Метрика Леви на $M$ связана с равномерной метрикой

$$\rho=\rho(F, G)=\sup _x|F(x)-G(x)|$$соотношениями
$$\tag{*} L \leqslant \rho \leqslant L+\min \left\{Q_F(L), Q_G(L)\right\},$$где

$$Q_F(x)=\sup _t|F(t+x)-F(t)|$$[$Q_F(x)$ – функция концентрации, если $F \in \mathscr{F}$]. В частности, если одна из функций, например $G$, имеет равномерно ограниченную производную, то

$$\rho \leqslant\left(1+\sup _x G^{\prime}(x)\right) L .$$Следствием $(*)$ является теорема Пойа – Гливенко об эквивалентности слабой и равномерной сходимости в том случае, когда предельное распределение непрерывно.

8) Если $F_{a, \sigma}(x)=F(\sigma x+a)$, где $a$ и $\sigma>0$ – константы, то для любых $F, G \in \mathscr{F}$

$$L(\sigma F, \sigma G) \leqslant \sigma L\left(F_{a, \sigma}, G_{a, \sigma}\right)$$(в частности, метрика Леви инвариантна относительно сдвига распределений) и

$$\lim _{\sigma \rightarrow 0} L\left(F_{a, \sigma}, G_{a, \sigma}\right)=\rho(F, G) .$$9) Если $f, g$ – характеристические функции, соответствующие распределениям $F, G$, то для любых $T>e$

$$L(F, G) \leqslant \frac{1}{\pi} \int_0^T|f(t)-g(t)| \frac{d t}{t}+2 e \frac{\ln T}{T} .$$Понятие «метрика Леви» можно распространить на случай распределений в $\mathbb{R}^n$.