Метри́ческий изоморфи́зм пространств с мерой $\left(X_1, \mathfrak{B}_1, \mu_1\right)$ и $\left(X_2, \mathfrak{B}_2, \mu_2\right)$, биективное отображение $f: X_1 \rightarrow X_2$, при котором образы и прообразы измеримых множеств измеримы и имеют ту же меру (здесь $\mathfrak{B}_i$ – некоторая булева $\sigma$-алгебра или $\sigma$-кольцо подмножеств пространства $X_i$, называемых измеримыми, а $\mu_i$ – заданная на $\mathfrak{B}_i$ мера). Более общее понятие – (метрический) гомоморфизм этих пространств, т. е. такое отображение $f: X_1 \rightarrow X_2$, что прообразы измеримых множеств измеримы и имеют ту же меру. При $(X_1, \mathfrak{B}_1, \mu_1)=(X_2, \mathfrak{B}_2, \mu_2)$ вместо изоморфизма или гомоморфизма говорят о (метрическом) автоморфизме или эндоморфизмe.

В соответствии с обычной в теории меры тенденцией пренебрегать множествами меры нуль вводятся (и преимущественно используются) варианты всех этих понятий «по $\bmod 0$». Например, пусть $N_i \subset X_i$, $\mu\left(N_i\right)=0$, $i=1,2$, и $f: X_1 \backslash N_1 \rightarrow X_2 \backslash N_2$ – метрический изоморфизм; тогда говорят, что $f$ есть изоморфизм исходных пространств с мерой по $\bmod 0$. (Оговорку «по $\bmod 0$» часто опускают).

Для ряда объектов, заданных в $X_i$ (подмножеств, функций, преобразований, а также их систем), имеет смысл утверждение, что при метрическом изоморфизме $f$ эти объекты переходят друг в друга. Тогда говорят, что $f$ есть метрический изоморфизм соответствующих объектов. Можно говорить также об их метрическом изоморфизме по $\bmod 0$. При этом подразумевается, что при некоторых $N_i$ меры нуль соответствующие объекты $O_i$ могут рассматриваться как некоторые объекты $O_i^{\prime}$ в $X_i \backslash N_i$ (для преобразований это означает, что $X_i \backslash N_i$ инвариантны относительно этих преобразований, а для подмножеств и функций это имеет смысл при любых $N_i$ – надо взять пересечения рассматриваемых подмножеств с $X_i \backslash N_i$ и ограничения функций на $X_i \backslash N_i$) и что $f$ есть метрический изоморфизм объектов $O_i^{\prime}$. Класс всех метрически изоморфных по $\bmod 0$ друг другу объектов называют (метрическим) типом; говорят, что два объекта из этого класса имеют одинаковый тип.

С $\left(X_i, \mathfrak{B}_i, \mu_i\right)$ ассоциируются гильбертово пространство $L^2\left(X_i, \mu_i\right)$, в котором дополнительно к обычной структуре гильбертова пространства имеется ещё операция обычного перемножения функций (определённая не всюду, ибо произведение функций из $L^2$ не всегда принадлежит $L^2$), и булева $\sigma$-алгебра с мерой $\mathfrak{M}_i$, получающаяся из $\mathfrak{B}_i$ отождествлением множеств, симметрическая разность которых имеет меру нуль (т. е. факторизацией по идеалу, состоящему из множеств меры нуль). Метрический изоморфизм $\bmod 0$ $f$ индуцирует изоморфизм булевых $\sigma$-алгебр с мерой $\mathfrak{M}_i$ и унитарный изоморфизм гильбертовых пространств $L^2\left(X_i, \mu_i\right)$, который мультипликативен, т. е. переводит произведение (когда оно определено) в произведение образов сомножителей. Если $\left(X_i, \mathfrak{B}_i, \mu_i\right)$ – пространство Лебега, то верно и обратное: всякий изоморфизм булевых $\sigma$-алгебр с мерой $\mathfrak{M}_i$ или мультипликативный унитарный изоморфизм пространств $L^2\left(X_i, \mu_i\right)$ индуцируется некоторым метрическим изоморфизмом по $\bmod 0$.