Ме́тод Га́усса, метод решения системы линейных алгебраических уравнений; назван в честь К. Гаусса.

Метод Гаусса состоит в приведении системы линейных алгебраических уравнений $$\left\{\begin{alignedat}{3} a_{11}x_1&+a_{12}x_2&+&\ldots&+ a_{1n}x_n&=b_1\\ a_{21}x_1&+a_{22}x_2&+&\ldots&+a_{2n}x_n&=b_2\\ &\mathellipsis\mathellipsis&&\mathellipsis&\mathellipsis\mathellipsis\\ a_{m1}x_1&+a_{m2}x_2&+&\ldots&+a_{mn}x_n&=b_m \end{alignedat}\right.\tag1$$к ступенчатому (треугольному) виду $$\left\{ \begin{alignedat}{10}p_{1j_1}x_{j_1}+p_{1j_2}x_{j_2}+&\ldots+&p_{1j_r}x_{j_r}+\ldots+p_{1j_n}x_{j_n}&=\beta_1\\ p_{2j_2}x_{j_2}+&\ldots+&p_{2j_r}x_{j_r}+\ldots+p_{2j_n}x_{j_n}&=\beta_2\\ &\ldots\ldots&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&\ldots\\ & &p_{rj_r}x_{j_r}+\ldots+p_{rj_n}x_{j_n}&=\beta_r\\ &&0&=\beta_{r+1}\\ &&&\ldots\\ &&0&=\beta_m\\ \end{alignedat}\right.\tag2$$путём последовательного исключения неизвестных «сверху вниз» (прямой ход) и последовательное нахождение неизвестных «снизу вверх» из системы (2) (обратный ход).

Для преобразования системы используются элементарные преобразования, не меняющие множества решений: перестановка уравнений и прибавление к одному уравнению другого, умноженного на число. На первом шаге прямого хода выбирается неизвестная $x_{j_1}$, у которой хотя бы в одном уравнении системы (1) коэффициент отличен от нуля. Далее уравнения переставляются так, чтобы в первом уравнении $a_{1j_1}\neq0$. Исключается неизвестная $x_{j_1}$ из остальных уравнений системы путём прибавления к $k$-му уравнению первого, умноженного на $-a_{kj_1}/a_{1j_1}$. На втором шаге оставляется без изменения первое уравнение и проделывается аналогичная процедура с остальными $n-1$ уравнениями. Через конечное число шагов (не превышающее $m$) система принимает ступенчатый вид (2).

В отличие от метода Крамера и матричного метода, метод Гаусса применим к любым системам линейных алгебраических уравнений: число уравнений может быть не равно числу неизвестных, система может быть несовместна или не определена.

Если неоднородная система уравнений, приведённая к ступенчатому виду (2), содержит хотя бы одно уравнение вида $$0=\beta_k,\qquad\beta_k\neq0$$то система несовместна; если таких уравнений нет, система совместна.

На практике однородной системе линейных алгебраических уравнений сопоставляется матрица системы, а неоднородной системе – расширенная матрица системы. Преобразованиям системы соответствуют элементарные преобразования строк матрицы. Необходимое и достаточное условие совместности неоднородной системы определяется теоремой Кронекера – Капелли: система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы (матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных) равен рангу расширенной матрицы системы – матрицы, которая получается путём добавления к матрице системы справа столбца правых частей системы уравнений.

Если в совместной системе (2) число нетривиальных уравнений $r$ равно числу неизвестных $n$, то матрица системы является треугольной и система имеет единственное решение. Если $r<n$, система имеет бесконечное множество решений. Переменные $x_{j_1},x_{j_2},\ldots,x_{j_r}$ называются главными или зависимыми, остальные переменные – свободными или независимыми.

В ступенчатой системе (2) перенесём слагаемые со свободными переменными в правую часть уравнений. Получаем систему $$\left\{\begin{alignedat}{10}p_{1j_1}x_{j_1}+p_{1j_2}x_{j_2}+&\ldots+&p_{1j_r}x_{j_r}&=\beta_1-p_{1j_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots-p_{1j_n}x_{j_n}\\ p_{2j_2}x_{j_2}+&\ldots+&p_{2j_r}x_{j_r}&=\beta_2-p_{2j_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots-p_{2j_n}x_{j_n}\\ &\ldots&\ldots\ldots&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\ &&p_{rj_r}x_{j_r}&=\beta_r-p_{rj_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots-p_{rj_n}x_{j_n}. \end{alignedat}\right.\tag3$$В системе (3) матрица коэффициентов при главных переменных является треугольной. Главные переменные однозначно выражаются через свободные переменные, которые принимают любые значения.

Для минимизации вычислительной погрешности используется метод Гаусса с выбором главного элемента. На каждом шаге прямого хода перестановкой строк и столбцов преобразуемой матрицы добиваются того, чтобы главным элементом $p_{kj_k}$ оказался максимальный по модулю элемент матрицы из всех с индексами больше либо равными $k$. При частичном выборе главного элемента в качестве главного элемента $p_{kj_k}$ выбирается максимальный по модулю элемент $k$-й строки матрицы.

Имеются различные модификации метода Гаусса для решения задач с матрицами специального вида (симметричными, ленточными и т. д.). Доказано, что метод Гаусса – один из наиболее экономичных точных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с точки зрения количества требуемых операций. В общем случае для решения системы $n$ уравнений требуется примерно ${n^3}/{3}$ операций.

Важной модификацией метода Гаусса является метод Гаусса – Жордана (метод полного исключения неизвестных), позволяющий получить систему (3) с единичной матрицей. Этот метод применяется также для нахождения обратной матрицы.