Пра́вило Кра́мера, метод решения системы линейных алгебраических уравнений, имеющей единственное решение, с помощью определителей. Назван именем швейцарского математика Г. Крамера.

Метод Крамера применим для решения системы $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными

$$\left\{\begin{alignedat}{3} a_{11}x_1&+a_{12}x_2&+&\ldots&+ a_{1n}x_n&=b_1,\\ a_{21}x_1&+a_{22}x_2&+&\ldots&+a_{2n}x_n&=b_2,\\ &\mathellipsis\mathellipsis\\ a_{n1}x_1&+a_{n2}x_2&+&\ldots&+a_{nn}x_n&=b_n. \end{alignedat}\right.$$

Матрица $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{pmatrix}$ называется матрицей системы, вектор-столбец $\bar b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\ldots\\b_n\end{pmatrix}$ – вектором-столбцом правых частей, вектор-столбец $\bar x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\ldots\\x_n\end{pmatrix}$ – вектором-столбцом неизвестных.

Если определитель матрицы $A$ не равен нулю, т. е. $\Delta=\det A\neq0$, то система имеет единственное решение, которое находится согласно правилу Крамера по следующим формулам: $$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta_{\hphantom{1}}},\quad x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta_{\hphantom{2}}},\quad …, \quad x_n=\frac{\Delta_n}{\Delta_{\hphantom{n}}}, \tag{1}$$где $\Delta_i,\ i=1,2,\ldots, n,$ – определитель, который получается из определителя $\Delta$ заменой столбца с номером $i$ на вектор-столбец $\bar b$.

В частности, для решения системы линейных алгебраических уравнений $$\left\{\begin{alignedat}{2}a_{11}x_1&+a_{12}x_2&+a_{13}x_3&=b_1\\ a_{21}x_1&+a_{22}x_2&+a_{23}x_3&=b_2\\ a_{31}x_1&+a_{32}x_2&+a_{33}x_3&=b_3 \end{alignedat}\right.$$необходимо вычислить определители $\begin{aligned}\Delta&=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}, \\ \Delta_1=\begin{vmatrix}b_1&a_{12}&a_{13}\\b_2&a_{22}&a_{23}\\b_3&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}, \quad\Delta_2&=\begin{vmatrix}a_{11}&b_1&a_{13}\\a_{21}&b_2&a_{23}\\a_{31}&b_3&a_{33}\\\end{vmatrix}, \quad\Delta_3=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_1\\a_{21}&a_{22}&b_2\\a_{31}&a_{32}&b_3\\\end{vmatrix} \end{aligned}$и при $\Delta\neq0$ найти решение по формулам $$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta_{\hphantom{1}}}, \quad x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta_{\hphantom{2}}}, \quad x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta_{\hphantom{3}}}.$$Если определитель матрицы системы $\Delta=0$, то правило Крамера неприменимо.

При использовании метода Крамера для решения системы $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными необходимо вычислить $n+1$ определитель размерности $n\times\ n$, что требует больших вычислительных затрат, поэтому для систем большой размерности формулы Крамера не применяются. В общем случае правило Крамера может быть использовано не для вычисления решения по формулам (1), а для доказательства существования и единственности решения системы, у которой число неизвестных равно числу уравнений: если определитель матрицы системы $\Delta\neq0$, то система имеет единственное решение.