Лине́йное эллипти́ческое уравне́ние и систе́ма, дифференциальное уравнение (и система) с частными производными вида

$$L u=f \text {, }$$где $L$ – линейный эллиптический оператор
$$\tag{1} L u=\sum_{|\alpha| \leqslant m} a_\alpha(x) D^\alpha u(x) .$$Оператор $(1)$ с действительными коэффициентами $a_\alpha (x)$ эллиптичен в точке $x$, если характеристическая форма

$$\omega(x, \xi)=\sum_{|\alpha|=m} a_\alpha(x) \xi^\alpha$$является определённой в этой точке. Здесь $x=\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n$, $\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ – мультииндекс (набор целых неотрицательных чисел), $|\alpha|=\Sigma \alpha_i$, $\xi=\left(\xi_1, \ldots,\xi_n\right) \in \mathbb{R}^n$, $D^\alpha=D_1^{\alpha_1} \ldots D_n^{\alpha_n}$ и $\xi^\alpha=\xi_1^{\alpha_1} \ldots \xi_n^{\alpha_n}$. В частности, порядок $m$ оператора $L$ должен быть чётным $m=2 m^{\prime}$. С точностью до знака условие определённости форм записывается в виде
$$\tag{2} (-1)^{m^{\prime}} \omega(x, \xi) \geqslant \delta|\xi|^m, \quad \delta>0 .$$Оператор $L$ эллиптичен в области $D$, если он эллиптичен в каждой точке $x \in D$, и равномерно эллиптичен в этой области, если $\delta>0$ в $(2)$ не зависит от $x$.

В случае уравнения $2$-го порядка
$$\tag{3} \sum_{i, j=1}^n a_{i j}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial y_j}+\sum_{i=1}^n a_i(x) \frac{\partial u}{\partial x_i}+a(x) u=f(x)$$это определение может быть переформулировано следующим образом. Уравнение $(3)$ эллиптично в области $D$, если в каждой точке этой области путём замены независимых переменных оно допускает приведение к каноническому виду

$$\Delta u+\sum_{i=1}^n a_i(x) \frac{\partial u}{\partial x_i}+a(x) u=f(x)$$с оператором Лапласа

$$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\ldots+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}$$в главной части. В случае эллиптического уравнения на плоскости при весьма широких предположениях относительно коэффициентов $a_{i j}$ такое преобразование возможно не только в точке, но и во всей области (см. Векуа. 1959).

Простейшим эллиптическим уравнением является уравнение Лапласа, его решения называются гармоническими функциями. Решения линейного эллиптического уравнения можно охарактеризовать тем, что они имеют много общих свойств с гармоническими функциями. В плоском случае все гармонические функции описываются как реальные части аналитических функций, они являются действительными аналитическими функциями двух переменных. Аналогичным свойством обладают решения общего линейного эллиптического уравнения $L u=f$. Если коэффициенты $a_\alpha(x),|\alpha| \leqslant m$, и правая часть $f(x)$ аналитичны по $x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ в области $D$, то и любое решение этого уравнения также аналитично.

Существуют и другие утверждения подобного типа. Например, если коэффициенты и правая часть уравнения $L u=f$ непрерывно дифференцируемы до порядка $k$ и их $k$-е производные удовлетворяют условию Гёльдера с показателем $\alpha$, $0<\alpha<1$, то любое решение обладает производными до порядка $k+m$, удовлетворяющими условию Гёльдера с тем же показателем $\alpha$. Принадлежность к классу Гёльдера здесь существенна. Если коэффициенты и правая часть просто непрерывны, то решения могут не иметь непрерывных производных порядка, равного порядку уравнения. Это верно даже для самого простого линейного эллиптического уравнения – уравнения Пуассона

$$\Delta u=f \text {. }$$Вышесказанное относится к классическим решениям, т. е. решениям, имеющим непрерывные производные до порядка, равного порядку уравнения. Существуют различные обобщения понятия решения.

Например, если коэффициенты $a_\alpha(x)$ достаточно гладки, то для оператора $(1)$ можно определить сопряжённый по Лагранжу оператор

$$L^* u=\sum_{|\alpha| \leqslant m}(-1)^{|\alpha|} D^\alpha\left(a_\alpha u\right) .$$Локально интегрируемая функция $u(x)$ называется слабым решением уравнения $L u=f$, если для всех $\varphi \in C_0^{\infty}$ (бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем) выполнено тождество

$$\int f(x) \varphi(x) d x=\int u(x) L^* \varphi(x) d x .$$Тогда, если коэффициенты и правая часть уравнения $L u=f$ непрерывны по Гёльдеру, то всякое слабое решение является классическим.

Для уравнения Лапласа простейшей корректно поставленной задачей является задача Дирихле. В общем случае уравнения с оператором $(1)$ краевая задача состоит в отыскании в области $D$ решения $u(x)$ уравнения $L u=f$, удовлетворяющего $m^{\prime}=m / 2$ граничным условиям вида

$$\begin{gathered} \left(B_j u\right)(x)=\sum_{|\alpha| \leqslant m} b_{\alpha j}(x) D^\alpha u(x)=\varphi_j(x), \\ x \in \partial D, \quad 1 \leqslant j \leqslant m^{\prime} . \end{gathered}$$Задаче Дирихле отвечают граничные операторы $b_j=\left(\frac{\partial}{\partial \nu}\right)^i$, где $\frac{\partial}{\partial \nu}$ означает дифференцирование по направлению внешней нормали.

Для того чтобы краевая задача была нётеровой, граничные операторы $B_j$ должны удовлетворять условию дополнительности Шапиро – Лопатинского (см. Бицадзе. 1966) – алгебраическому условию, связывающему многочлены

$$\sum_{|\alpha|=m_j} b_{\alpha j}(x) \xi^\alpha, \quad 1 \leqslant j \leqslant m^{\prime}, \quad \sum_{|\alpha|=m} a_\alpha(x) \xi^\alpha$$в точках границы $x \in \partial D$. Граничные операторы задачи Дирихле удовлетворяют этому условию по отношению к любому эллиптическому оператору $L$.

Если коэффициенты дифференциального оператора и решение рассматривать в классе комплексных функций, то эллиптичность оператора $L$ в $(1)$ определяется условием $\omega(x, \xi) \neq 0$, $\xi \neq 0$. Это определение допускает эллиптические операторы нечётного порядка, как показывает пример оператора Коши – Римана: $\frac{\partial}{\partial x_1}+i \frac{\partial}{\partial x_2}$. Кроме того, меняются свойства операторов чётного порядка. Например, для уравнения Бицадзе (см. Агмон. 1962):

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2 i \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$$задача Дирихле не является корректно поставленной: если $D$ – единичный круг, то функции вида $u=f(z)\left(1-|z|^2\right)$ являются решениями однородной задачи Дирихле в области $D$ для любой аналитической функции $f(z)$.

Этот пример привёл к необходимости выделять классы эллиптических операторов, для которых сохраняется нётеровость задачи Дирихле. На этом пути возникло понятие сильноэллиптического оператора (см. Йон. 1958). Оператор $(1)$ – сильноэллиптический оператор, если для некоторой комплексной функции $\gamma(x) \neq 0$ выполнено условие

$$\operatorname{Re} \gamma(x) \sum_{|\alpha|=m} a_\alpha(x) \xi^\alpha \geqslant \delta|\xi|^m, \quad \delta>0 .$$В частности, порядок $m$ – необходимо чётное число.

Следующим, более широким понятием явилось понятие собственной (правильной) эллиптичности. Оператор $(1)$ – собственно эллиптический оператор, если его порядок чётен и для любой пары линейно независимых векторов $\xi$ и $\xi^{\prime}$ многочлен по $\tau$

$$\sum_{|\alpha|=m} a_\alpha(x)\left(\xi+\tau \xi^{\prime}\right)^\alpha$$имеет ровно $m^{\prime}=m / 2$ корней с отрицательной мнимой частью и столько же – с положительной. Любой эллиптический оператор при $n \geqslant 3$ собственно эллиптичен, так что определение по существу относится только к случаю $n=2.$

В теории линейных эллиптических уравнений значительную роль играют априорные оценки норм решений через нормы правых частей уравнения и граничных условий. Эти оценки начали систематически использоваться С. Н. Бернштейном (см. Бернштейн. 1960) и своё дальнейшее развитие получили у Ю. Шаудера (см. Schauder. 1934). Шаудеровские оценки относятся к решениям линейного эллиптического уравнения $2$-го порядка в области $D$ с непрерывными по Гёльдеру коэффициентами и бывают двух видов. Оценки первого вида (оценки «внутри») состоят в том, что на любом компакте $K \in D$ производные до $2$-го порядка включительно и их гёльдеровские константы оцениваются через $\sup|u|$ и через модуль и гёльдеровскую константу правой части уравнения. Оценки второго вида (оценки «вплоть до границы») относятся к краевым задачам. Здесь оценивают те же величины, но уже в замыкании рассматриваемой области, и в оценке фигурируют нормы правых частей граничных условий.

Шаудеровские оценки получили дальнейшее распространение для общих линейных эллиптических уравнений и краевых задач (см. Schauder. 1934). Вывод этих оценок основан на теории потенциала. C помощью разбиения единицы им придаётся локальный характер, и дело сводится к оценке норм сингулярных интегральных операторов, которые представляют собой свёртку с функциями, связанными с фундаментальными решениями (оценки «внутри»), или c функциями Грина соответствующей краевой задачи в некоторой стандартной области (оценки «вплоть до границы»). Эти оценки, полученные первоначально в метрике пространств Гёльдера $C^\alpha$, распространены на пространства Соболева $W_p^l$ ($L_p$-оценки) и относятся к обобщённым решениям.

Для сильноэллиптических операторов существует априорная оценка, называемая неравенством Гёрдинга, которая получена другими методами. Она лежит в основе функционального подхода к исследованию краевых задач (методы гильбертовых пространств).

В теории линейных эллиптических уравнений важное место занимают фундаментальные решения. Для оператора $(1)$ с достаточно гладкими коэффициентами фундаментальное решение определяется как функция $J(x, y),$ удовлетворяющая условию

$$\int L^* \varphi(x) J(x, y) d x=\varphi(y)$$для всех $\varphi \in C_0^{\infty}$. С точки зрения теории обобщённых функций это означает равенство

$$L J(x)=\delta(x-y),$$где справа стоит дельта-функция Дирака.

Фундаментальные решения линейных эллиптических уравнений существуют для уравнений с аналитическими коэффициентами (и сами тогда аналитичны), для уравнений с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами (и также принадлежащие классу $C^{\infty}$) и для ряда других уравнений с более слабыми ограничениями на коэффициенты. Для эллиптического оператора $L_0$ с постоянными коэффициентами, состоящего из членов старшего порядка $m=2 m^{\prime}$, фундаментальное решение зависит только от разности аргументов и имеет вид $(y=0)$:

$$J(x)=|x|^{m-n} \psi\left(\frac{x}{|x|}\right)+q(x) \ln |x|,$$где $q(x)$ – многочлен степени $m-n$ при чётном $n$ и $m-n \geqslant 0$, в остальных случаях $q(x)=0$, $\psi(x)$ аналитична на сфере $|x|=1$ (см. Lopatinskij. 1953).

В частности, для оператора Лапласа $(m=2)$ $q=0$, $\psi=\operatorname{const}$ для $n>2$ и $q=\operatorname{const}$, $\psi=0$ для $n=2$.

Фундаментальные решения позволяют строить различные явные представления для решений линейных эллиптических уравнений. Они являются необходимым аппаратом при изучении краевых задач с помощью интегральных уравнений. Для уравнения $2$-го порядка этот метод является классическим и даёт наиболее точные результаты (см. Вишик. 1951).

Многообразные применения в теории линейных эллиптических уравнений $2$-го порядка получил принцип максимума. Функции $a_{i j}$, $a_i$, $a$ предполагаются непрерывными, оператор $(3)$ – равномерно эллиптичным в некоторой области $D$. Функция $u(x)$ непрерывна в замыкании $\overline{D}$ и принадлежит классу $C^2(D)$.

Принцип максимума в его сильной форме заключается в следующем. Пусть $M$ – оператор $L$ в $(3)$, в котором $a \equiv 0$.

а) Если $M u \geqslant 0$ и функция $u(x)$ достигает своего максимума во внутренней точке, то $u$ постоянна.

б) Если $M u \geqslant 0$ и максимум $u$ достигается в некоторой граничной точке $x_0$, которая расположена на поверхности некоторого шара, целиком содержащегося в $\overline{D}$, то $u(x)$ либо постоянна, либо производная в точке $x_0$ по направлению внешней нормали $\partial u / \partial \nu$ положительна.

Аналогичные утверждения справедливы для оператора $L$ с $a(x) \leqslant 0$, если в а) и б) под максимумом понимать положительный максимум. Принцип максимума является существенным элементом в доказательствах теорем единственности для решений ряда краевых задач. Он также имеет некоторые аналоги в случае уравнений высшего порядка.