Ле́мма Мо́рса, утверждение, описывающее строение ростка дважды непрерывно дифференцируемой функции. Пусть $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^1$ – функция класса $C^2$, имеющая точку $0 \in \mathbb{R}^n$ своей невырожденной критической точкой. Тогда в некоторой окрестности $U$ точки $O$ существует такая система локальных координат (карта) $x_1, \dots, x_n$ с центром в $O$, что для всех $x \in U$ имеет место равенство$$f(x) = f(0) - x_1^2 - \dots - x_\lambda^2 + x_{\lambda+1}^2 + \dots + x_n^2.$$При этом число $\lambda$, $0 \leqslant \lambda \leqslant n$, является индексом Морса критической точки $O$ функции $f$. Справедлив также аналог леммы Морса для функций $f \colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^1$, именно: если $f$ голоморфна в некоторой окрестности своей невырожденной критической точки (в другой терминологии – точки перевала, см. Метод перевала) $0 \in C^n$, то в некоторой окрестности $U$ точки $O$ существует такая система локальных координат $z_1, \dots, z_n$, что$$f(x) = f(0) + z_1^2 + \dots + z_n^2.$$Лемма Морса справедлива и для функций $f \colon E \to \mathbb{R}$ на сепарабельном (бесконечномерном) гильбертовом пространстве $E$. Пусть $f$ дважды дифференцируема (по Фреше) в некоторой окрестности своей невырожденной критической точки $0 \in E$. Тогда существуют такая выпуклая окрестность нуля $V \subset E$, такая окрестность нуля $U \subset E$ и такой диффеоморфизм (карта) $\theta \colon U \to V$ с $\theta(0)=0$, что для всех $x \in U$ имеет место равенство$$f(x) = \|P(\theta(x))\|^2 -\|(I-P)(\theta(x))\|^2,$$где $P \to E : E$ – непрерывный ортогональный проектор, а $I$ – тождественный оператор. При этом размерность $\dim \mathrm{Im} (I-P)$ совпадает с индексом Морса критической точки $0 \in E$ функции $f$, а размерность $\dim \mathrm{im} P$ – с её коиндексом.