Ква́нтовые ме́ры нема́рковости, в теории открытых квантовых систем – различные числовые характеристики квантовой динамики, которые характеризуют степень марковости или немарковости динамики открытой квантовой системы. Многообразие таких мер связано с тем, что в рамках теории открытых квантовых систем существует множество неэквивалентных подходов к определению марковской динамики (Li. 2018).

Меры делимости

Значительная часть концепций марковости в теории открытых квантовых систем основана на свойствах динамики матрицы плотности системы. А именно, если $\rho(t)$ – матрица плотности системы, то можно определить эволюционное отображение $\Phi_{s}^t$ формулой $\rho(t) = \Phi_{s}^t \rho(s),$ где $t \geqslant s \geqslant t_0,$ а $t_0$ – начальный момент времени. Вообще говоря, отображение $\Phi_{s}^t$ может быть определено данной формулой неоднозначно. Кроме того, оно может не быть вполне положительным или вообще не сохранять положительность. В теории открытых квантовых систем часто рассматриваются факторизованные начальные условия системы и окружения. В этом случае $\Phi_{t_0}^t$ определяется однозначно и является вполне положительным. В силу определения $\Phi_{t_0}^t = \Phi_{s}^t \Phi_{t_0}^s,$ поэтому о существовании $\Phi_{s}^t$ в том или ином классе отображений говорят как о делимости динамики, описываемой $\Phi_{t_0}^t.$ В случае, когда интерес представляет именно динамика матрицы плотности системы, марковость часто отождествляют с той или иной делимостью.

Если $\Phi_{s}^t$ – положительное отображение (переводящее неотрицательные матрицы в неотрицательные) для любых $t \geqslant s \geqslant t_0,$ то говорят, что динамика $\Phi_{t_0}^t$ положительно делима. Наиболее распространённой мерой немарковости, которая характеризует положительную делимость, является мера Бройера – Лейна – Пиило (Breuer. 2009). Она определяется как $$\mathcal{N}_{\rm BLP}(\Phi_{t_0}^t) = \max_{\rho_1, \rho_2} \int_{\sigma(\rho_1, \rho_2, t)>0} dt \;\sigma(\rho_1, \rho_2, t),$$где $$\sigma(\rho_1, \rho_2, t) = \frac12 \frac{d}{dt} \mathrm{Tr} |\Phi_{t_0}^t(\rho_1 - \rho_2)|,$$$\rho_1$ и $\rho_2$ – произвольные матрицы плотности. Если динамика $\Phi_{t_0}^t$ положительно делима, то $\mathcal{N}_{\rm BLP}(\Phi_{t_0}^t) = 0.$

Если $\Phi_{s}^t$ – вполне положительное отображение для любых $t \geqslant s \geqslant t_0,$ то говорят, что динамика $\Phi_{t_0}^t$ вполне положительно делима. Наиболее распространённой мерой немарковости, которая характеризует вполне положительную делимость, является мера Риваса – Уельги – Пленио (Rivas. 2010) $$\mathcal{N}_{\rm RHP}(\Phi_{t_0}^t) = \int_0^{\infty} dt \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow+0} \frac{\mathrm{Tr}|(\Phi_{t}^{t+\varepsilon} \otimes I ) (| \Omega \rangle \langle \Omega |)| - 1}{\varepsilon} ,$$где $| \Omega \rangle$ – максимально сцепленное состояние. Данная мера основана на соответствии Чоя – Ямилковского. Если динамика $\Phi_{t_0}^t$ вполне положительно делима, то $\mathcal{N}_{\rm RHP}(\Phi_{t_0}^t) = 0.$ Согласно работе (Comparative study ... 2014), данная мера является одной из самых простых в вычислении, т. к. она не требует оптимизации по начальным состояниям, в отличие от других мер, например меры Бройера – Лейна – Пиило. Если $\mathcal{N}_{\rm RHP}(\Phi_{t_0}^t) = 0,$ то $\mathcal{N}_{\rm BLP}(\Phi_{t_0}^t) = 0,$ но обратное неверно, как следует из работы (De Vega. 2017).

Д. Крушинский и С. Манискалько в работе (Chruściński. 2014) предложили иерархию мер, которые характеризуют $k$-положительную делимость. Случай $k=1$ соответствует положительной делимости, а случай, когда $k$ совпадает с размерностью гильбертова пространства системы, соответствует вполне положительной делимости.

Известно и множество других мер делимости, описанных в работах (Comparative study ... 2014; De Vega. 2017), а также основанных на потоке информации Фишера (Xiao-Ming Lu. 2010), расстоянии Буреса (Jing Liu. 2013), взаимной информации между системой и вспомогательной системой, которая не эволюционирует (Shunlong Luo. 2012), объёме пространства доступных состояний (Lorenzo. 2013) и других величинах.

Меры, основанные на многовременной динамике

Марковость в рамках теории случайных процессов, в том числе квантовых (Lindblad. 1979; Accardi. 1982), не ограничивается только динамикой в заданный момент времени, но и предполагает, что многовременны́е корреляционные функции выражаются в терминах начального распределения и эволюционного отображения $\Phi_{s}^t.$ В теории открытых квантовых систем марковость многовременных корреляционных функций обычно предполагает выполнение (обобщённых) квантовых регрессионных формул (см. в статье Квантовая теорема регрессии).

Для характеризации марковости многовременных корреляций также был предложен целый ряд мер. Например, в работе (Non-Markovian quantum process tomography. 2022) были предложены меры, основанные на расстоянии между тензором процесса (тензором, который описывает многовременные корреляции открытой квантовой системы) и тензором, соответствующим регрессионным формулам. В работе (Guo. 2022) были предложены меры, основанные на сцепленности в операторном пространстве и энтропии сцепленности состояния эффективного окружения. Однако т. к. физическая значимость многовременных корреляций в определение марковости открытых квантовых систем была осознана только недавно (Li. 2018), то поиск мер, основанных на многовременной динамике и удобных для физических применений, продолжается.