Вполне́ положи́тельное отображе́ние, линейное положительное отображение между двумя C*-алгебрами, для которого покомпонентно действующее отображение над квадратными матрицами любой конечной размерности, коэффициентами которых являются элементы исходной C*-алгебры, остаётся положительным.

Понятие вполне положительного отображения введено американским математиком У. Ф. Стайнспрингом в работе (Stinespring. 1955).

Вполне положительные отображения играют важную роль в квантовой теории информации. Значимым примером вполне положительного отображения являются квантовые каналы (Холево. 2010).

Математическое определение

Пусть $\mathcal {A}$ и $\mathcal {B}$ – две C*-алгебры с положительными конусами ${\mathcal A}_+$ и ${\mathcal B}_+,$ а $\Phi :\mathcal {A}\to \mathcal {B}$ – линейное положительное отображение, т. е. переводящее ${\mathcal A}_+$ в элементы из ${\mathcal B}_+.$ Тогда $\Phi$ называется вполне положительным отображением, если отображение $\Phi \otimes Id_n:M_n(\mathcal {A})\to M_n(\mathcal {B}),$ определённое по формуле $$(\Phi \otimes Id_n)\left (\begin {bmatrix} a_{11}&\dots &a_{1n}\\ \dots \\a_{n1}&\dots & a_{nn}\end{bmatrix}\right )=\begin {bmatrix}\Phi (a_{11})&\dots &\Phi (a_{1n})\\ \dots \\\Phi (a_{n1})&\dots & \Phi (a_{nn})\end{bmatrix},$$$a_{jk}\in {\mathcal A},$ $1\le j,k\le n,$ остаётся положительным линейным отображением между пространствами квадратных матриц $M_n({\mathcal A})$ и $M_n({\mathcal B})$ для любого $n=2,3,4,\dots.$

Свойства

Пусть C*-алгебры $\mathcal A$ и $\mathcal B$ реализованы как алгебры операторов в гильбертовых пространствах $\mathcal {H}_A$ и $\mathcal {H}_B$ соответственно. Для любого вполне положительного отображения $\Phi$ найдутся такие ограниченные операторы $V_j:\mathcal {H}_A\to \mathcal {H}_B,$ что $$\Phi (x)=\sum \limits _jV_jxV_j^*,\quad x\in {\mathcal A}.$$В работе (Stinespring. 1955) было также показано что если хотя бы одна из C*-алгебр $\mathcal {A},$ $\mathcal B$ коммутативна, тогда понятия вполне положительного отображения и положительного отображения совпадают.