Ква́нтовая теоре́ма регре́ссии, в теории открытых квантовых систем – утверждение о том, что многовременны́е корреляционные функции могут быть определены на основе одновременно́й динамики. В современной теории открытых квантовых систем принято формулировать данное утверждение в виде формул, выражающих многовременные корреляционные функции в терминах начальной матрицы плотности и эволюционного отображения. В случае двухвременных корреляционных функций такие формулы называются регрессионными, а в случае многовременных – обобщёнными регрессионными формулами.

Квантовые регрессионные формулы

Пусть динамика матрицы плотности $\rho(t)$ открытой квантовой системы описывается вполне положительным эволюционным отображением $\Phi_{s}^t,$ т. е. выполнено $\rho(t) = \Phi_{s}^t \rho(s)$. См. также Квантовые меры немарковости.

Пусть $X^{(0)}, \ldots, X^{(N)}$ и $Y^{(0)}, \ldots, Y^{(N)}$ – самосопряжённые операторы, соответствующие квантовым наблюдаемым, и $t_N \geqslant \ldots \geqslant t_1 \geqslant t_0$ – набор моментов времени. Тогда следующее выражение для (упорядоченных по времени) многовременны́х корреляционных функций называется обобщённой регрессионной формулой (Gardiner. 2000; Бройер. 2010)

$$\begin{align*} \langle Y^{(0)}(t_0) \cdot \ldots \cdot Y^{(N)}(t_N) & X^{(N)}(t_N) \cdot \ldots \cdot X^{(0)}(t_0) \rangle =\\ \\ &= \operatorname{Tr} \big(X^{(N)} \Phi_{t_{N-1}}^{t_N} (\ldots X^{(1)}\Phi_{t_0}^{t_1}( X^{(0)} \rho(t_0) Y^{(0)})Y^{(1)} \ldots) Y^{(N)}\big).\\ \end{align*}$$В случае, если все $X^{(k)},$ $Y^{(k)}$ и $\rho$ диагональны в одном базисе, a $\Phi_s^t$ переводят диагональные матрицы в диагональные, то, как показано в работе (Li. 2018) данные формулы эквиваленты определению классического марковского процесса, поэтому о такой динамике часто говорят как о марковской. Однако это определение марковости в квантовом случае не является единственным. Иногда квантовая теорема регрессии формулируется не в терминах явных регрессионных формул, а в виде эквивалентных им дифференциальных уравнений.

Условия выполнения теоремы

Было строго показано, что квантовые обобщённые регрессионные формулы выполняются в пределе слабой связи с перерастяжкой Боголюбова – ван Хова (пределе Боголюбова – ван Хова), а также в пределе сингулярной связи для открытой квантовой системы в резервуаре из свободных фермионов. На физическом уровне строгости в работе (Li. 2018) показано, что из предположения приближённой факторизации состояния системы и окружения следует регрессионная формула, а в случае конечномерного гильбертова пространства системы следуют и обобщённые регрессионные формулы. Однако, $\Phi_{s}^t$ при этом понимается в несколько модифицированном смысле. Существуют и другие физические предположения, которые приводят к таким модифицированным обобщённым регрессионным формулам.

История открытия

В 1931 г. Л. Онсагер для классической статистической системы в работе (Onsager. 1931) предположил при выводе соотношений взаимности (см. Теорема Онсагера), что распад корреляций $\langle Y(t) X(0) \rangle$ удовлетворяет такому же закону, как и $\langle Y(t) \rangle.$ Он также ввёл термин «регрессия» в этом контексте. Это стало прототипом регрессионных формул для других разделов статистической физики (Lax. 2000). В 1963 г. М. Лакс уже для квантовой открытой системы (на физическом уровне строгости) показал в работе (Lax. 1963), что если состояние системы и резервуара приближённо являются факторизованными и динамика среднего от наблюдаемой $Y$ описывается уравнением $$\langle Y(t) \rangle = \sum_{k} O_{k}(t,t') \langle Y_k(t') \rangle,$$где $Y_k$ составляют полный набор операторов, то динамика двухвременны́х коррелляционных функций описывается формулой $$\langle Y(t) X(t') \rangle = \sum_{k} O_{k}(t,t') \langle Y_k(t') X(t') \rangle.$$Именно данное утверждение изначально было названо квантовой теоремой регрессии. В современном виде обобщённые регрессионные формулы были получены Хакеном и Вейдлихом в 1967 г. в работе (Haken. 1967). В 1983 г. Р. Дюмке в работе (Dümcke. 1983) вывел обобщённые регрессионные формулы в пределе Боголюбова – Ван Хова математически строго.