Ква́нтовый кана́л, математическая модель эволюции квантовой системы, находящейся во взаимодействии со своим окружением. Впервые понятие квантового канала появилось в работе А. С. Холево (Холево. 1972).

Математическое определение

Квантовым каналом называется (Холево. 2010) линейное унитальное вполне положительное отображение $\Phi,$ действующее из алгебры всех ограниченных операторов $B(\mathcal{H}_A)$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_A,$ описывающем квантовую систему $A,$ в алгебру всех ограниченных операторов $B(\mathcal{H}_B)$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_B,$ описывающем квантовую систему $B.$

Иногда говорят, что $\Phi$ является квантовым каналом в представлении Гейзенберга. В этом случае предсопряжённое линейное сохраняющее след отображение $\Phi _*$ банахова пространства ядерных операторов $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B)$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_B$ в банахово пространство ядерных операторов $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_A,$ определённое формулой $$\mathrm{Tr}(\Phi _*(\rho )\,x)=\mathrm{Tr}(\rho\, \Phi (x)),\quad \rho \in \mathfrak{T}(\mathcal{H}_B),\, x\in B(\mathcal{H}_A),$$называется квантовым каналом в представлении Шрёдингера.

Свойства

Благодаря выполнению условия полной положительности, можно брать тензорные произведения любого набора квантовых каналов $\Phi _1,\dots ,\Phi _n.$ При этом отображение $\Psi =\bigotimes \limits _{j=1}^n\Phi_j$ также будет квантовым каналом.

Для квантового канала $\Phi_*$ из системы $B$ в систему $A$ (в представлении Шрёдингера) справедливо представление Стайнспринга$$\tag{1}\Phi_*(\rho)=\mathrm{Tr}_{\mathcal{H}_E} V\rho V^*,\quad \rho\in\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B),$$где $V$ – изометрическое вложение входного гильбертова пространства $\mathcal{H}_B$ в тензорное произведение $\mathcal{H}_{A}\otimes\mathcal{H}_{E}$ выходного гильбертова пространства $\mathcal{H}_A$ и некоторого гильбертова пространства $\mathcal{H}_E,$ называемого пространством окружения канала (Холево. 2010; Wilde. 2017).

В терминах двойственного канала представление Стайнспринга имеет вид $$\tag{2}\Phi (B)= V^* (x\otimes I_E) V,\quad x\in\mathfrak{B}(\mathcal{H}_A),$$где $I_E$ – тождественный оператор в пространстве $\mathcal{H}_E.$

С помощью представлений Стайнспринга $(1)$ и $(2)$ квантового канала нетрудно получить представления Крауса$$\tag{3}\Phi_*(\rho)=\sum_{j\in J}V_j\rho V_j^*,\quad \Phi (x)=\sum_{j\in J}V^*_jx V_j,\quad \rho\in\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B),\;x\in\mathfrak{B}(\mathcal{H}_B),$$где $\{V_j\}_{j\in J}$ – множество линейных операторов из $\mathcal{H}_B$ в $\mathcal{H}_A$ такое, что $\sum_{j\in J}V^*_jV_j=I_B,$ а мощность множества индексов $J$ совпадает с размерностью пространства $\mathcal{H}_E$ (Холево. 1972; Холево. 2010; Wilde. 2017). Обратно, имея представления Крауса $(3)$ квантового канала, легко получить представления Стайнспринга $(1)$ и $(2)$ этого канала.

Представление Стайнспринга $(1)$ не единственно, представление $(1)$ называется минимальным, если линейная оболочка множества векторов $$\{(x\otimes I_E) V\varphi\,|\, \varphi\in\mathcal{H}_B,\ x\in\mathfrak{B}(\mathcal{H}_A)\}$$плотна в $\mathcal{H}_{A}\otimes\mathcal{H}_{E}.$ Размерность пространства $\mathcal{H}_E$ в минимальном представлении Стайнспринга называется рангом Чоя канала $\Phi,$ она совпадает с минимально возможным числом операторов в представлении Крауса $(3).$

В теории квантовых коммуникаций квантовый канал играет роль канала передачи информации (квантовой или классической) между передающей и приёмной системами. Соответственно, квантовый канал характеризуется рядом пропускных способностей, описывающих предельную скорость передачи информации в различных протоколах связи (Холево. 1972; Холево. 2010; Нильсен. 2006).

Нахождение явных выражений для пропускных способностей квантового канала через энтропийные характеристики этого канала является одной из важнейших задач квантовой теории информации.