Представле́ние Ста́йнспринга, запись квантового канала в виде композиции изометрического вложения в составную квантовую систему, состоящую из исходной системы и пространства окружения, и усреднения по окружению.

Математическое определение

Из теоремы Стайнспринга (Stinespring. 1955; Холево. 2010; Wilde. 2017) следует, что для квантового канала $\Phi$ из системы $A$ в систему $B$ (в картине Шрёдингера) существует вложение $V$ гильбертова пространства $\mathcal{H}_A$ в тензорное произведение $\mathcal{H}_{B}\otimes\mathcal{H}_{E}$ выходного гильбертова пространства $\mathcal{H}_B$ и некоторого гильбертова пространства $\mathcal{H}_E,$ называемого пространством окружения канала такое, что $$\Phi(\rho)=\mathrm{Tr}_{\mathcal{H}_E} V\rho V^*,\quad \rho\in\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A).\tag{1}$$Обратно, любое отображение $\Phi$ из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B),$ представимое в виде $(1),$ является квантовым каналом в картине Шрёдингера. Представление $(1)$ называется представлением Стайнспринга канала $\Phi.$

Свойства

Представление Стайнспринга не единственно, представление $(1)$ называется минимальным, если линейная оболочка множества векторов $$\{(B\otimes I_E) V\varphi\,|\, \varphi\in\mathcal{H}_A,\,B\in\mathfrak{B}(\mathcal{H}_B)\}$$плотна в $\mathcal{H}_{B}\otimes\mathcal{H}_{E}.$ Размерность пространства $\mathcal{H}_E$ в минимальном представлении Стайнспринга называется рангом Чоя канала $\Phi,$ она совпадает с минимально возможным числом операторов в представлении Крауса канала.

История открытия

В известной работе (Stinespring. 1955) исследован общий вид вполне положительных отображений между двумя алгебрами, т. е. таких отображений, которые могут быть перенесены на матрицы, элементы которых принадлежат алгебре, с сохранением свойства положительности. Как оказалось, если исходная алгебра или её образ при рассматриваемом отображении некоммутативны, положительность может не сохраняться.

Применение

Представление Стайнспринга необходимо, прежде всего, для понимания формального математического определения квантового канала. Изучение его свойств, в частности оператора $V,$ осуществляющего вложение, является одной из важных задач квантовой теории информации.