Квадра́т Понтря́гина, когомологическая операция $\mathscr P_2$ типа $(\mathbb Z_{2^k}, 2n; \mathbb Z_{2^{k+1}}, 4n),$ т. е. отображение$$\mathscr P_2: H^{2n}(X, Y; \mathbb Z_{2^k})\to H^{4n}(X,Y; \mathbb Z_{2^{k+1}}),$$определённое для любой пары топологических пространств $(X,Y)$ и такое, что для любого непрерывного отображения $f: (X,Y)\to (X',Y')$ имеет место равенство $f^*\mathscr P_2 = \mathscr P_2 f^*$ (естественность).

Квадрат Понтрягина обладает следующими свойствами:

1) $\mathscr P_2(u+v) = \mathscr P_2 u + \mathscr P_2 v + i (u v)$, где $i: \mathbb Z_{2^k}\to \mathbb Z_{2^{k+1}}$ – вложение;

2) $\rho \mathscr P_2 u = u^2$ и $\mathscr P_2\rho u = u^2$, где $p: H^*(X,Y; \mathbb Z_{2^{k+1}})\to H^*(X,Y; \mathbb Z_{2^k})$ – гомоморфизм приведения по ${\rm mod}\, 2$;

3) $\mathscr P_2 \Sigma =\Sigma \mathscr P$ где $\Sigma: H^{2n-1}(X;G)\to H^{2n}(\Sigma X; G)$ – изоморфизм надстройки, а $\mathscr P$ – квадрат Постникова (иными словами, когомологической надстройкой над $\mathscr P_2$ является $\mathscr P$). Если$$\mathscr P_2: K(\mathbb Z_{2^k}, 2n)\to K(\mathbb Z_{2^{k+1}}, 4n)$$и$$\mathscr P: K(\mathbb Z_{2^k}, 2n-1)\to K(\mathbb Z_{2^{k+1}}, 4n-1)$$– представляющие отображения, то $\Omega \mathscr P_2 = \mathscr P$.

Свойства 1), 2) однозначно характеризуют квадрат Понтрягина и потому могут быть приняты за определяющие его аксиомы. Конструктивно квадрат Понтрягина определяется формулой$$\mathscr P_2\{u\} = \{ u v_0 u + uv_1\delta u\}\,{\rm mod}\,2^{k+1},$$где $u\in C^{2n}(X,\mathbb Z)$ – коцикл ${\rm mod}\, 2^k$ (о $U_i$-произведениях см. статью Квадрат Стинрода).

Существует (см. Thomas. 1956; Thomas. 1957) обобщение квадрата Понтрягина на случай произвольного нечётного простого $p$. Это обобщение является когомологической операцией типа $(\mathbb Z_{p^k}, 2n; \mathbb Z_{p^{k+1}}, 2 pn)$ и называется $p$-й степенью Понтрягина $\mathscr P_p$. Для операции $\mathscr P_p$ имеют место формулы (которые эту операцию однозначно характеризуют):$$\mathscr P_p (u+v) = \mathscr P_p u + \mathscr P v + i \Big( \sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{p} \begin{pmatrix} p \\ i\end{pmatrix} u^i u^{p-1} \Big),$$где $i:\mathbb Z_{p^k}\to\mathbb Z_{p^{k+1}}$ – вложение;$$\rho \mathscr P_p u = u^p \text{ и } \mathscr P_p pu = u^p,$$где $\rho: H^*(X,Y; \mathbb Z_{p^{k+1}})\to H^*(X,Y; \mathbb Z_{p^k})$ – гомоморфизм приведения по модулю $p$, обобщающие соответствующие формулы для $\mathscr P_2$. Аналог формулы 3) для $\mathscr P_p$ имеет вид $\mathscr P_p \Sigma = 0$, означающий, что когомологическая надстройка над $\mathscr P_p$ при $p>2$ равна нулю. При $p>2$ имеет место равенство $\mathscr P_p(uv) = (\mathscr P_p u)(\mathscr P_p v)$, в котором умножение можно считать как внешним ($\times$-умножением), так и внутренним ($\cup$-умножением). При $p=2$ соответствующее равенство имеет место только с точностью до слагаемых порядка $2$.

Наиболее общим образом квадрат Понтрягина определяется для когомологий над произвольной конечно порождённой абелевой группой $\pi$ (см. Болтянский. 1955; Постников. 1949). Окончательный вид этого обобщения (см. Thomas. 1957): квадрат Понтрягина представляет собой кольцевой гомоморфизм$$\mathscr P^*: \Gamma(H^{2n}(X; \pi))\to H^*(X;\Gamma(\pi)),$$где $\Gamma$ – функтор разделённых степеней алгебры. Если $\pi=\mathbb Z_p$, то $p$-я компонента этого гомоморфизма совпадает с $p$-й степенью Понтрягина $\mathscr P_p$ (при $p=2$ – с квадратом Понтрягина $\mathscr P_2$).