Компактифика́ция Банаше́вского, максимальная компактификация в классе нульмерных пространств. Более подробно: для каждого нульмерного пространства $X$ существует нульмерная компактификация этого пространства $\beta_0 X$, обладающая свойством: для любой нульмерной компактификации $cX$ найдётся непрерывное отображение $f\colon\beta_0 X\to cX$ такое, что $f\circ\beta_0=c$. Указанное свойство однозначно (с точностью до эквивалентности компактификаций) определяет компактификацию $\beta_0 X$; она называется компактификацией Банашевского нульмерного пространства $X$.

Для произвольной нульмерной компактификации $\gamma X$ нульмерного пространства $X$ следующие условия эквивалентны:

(i) компактификация $\gamma X$ эквивалентна компактификации Банашевского $\beta_0 X$;

(ii) если $U$ – произвольное открыто-замкнутое в $X$ множество, то его замыкание $\overline{U}$ в $\gamma X$ открыто-замкнуто;

(iii) каждое непрерывное отображение $f\colon X\to\mathbb{D}$, где $\mathbb{D}=\{0,1\}$ – двухточечное дискретное пространство, непрерывно продолжается на компактификацию $\gamma X$;

(iv) каждое непрерывное отображение $f\colon X\to K$, где $K$ – нульмерное компактное пространство, непрерывно продолжается на компактификацию $\gamma X$.

В терминах теории категорий условие (iv) может быть переформулировано следующим образом: компактификация Банашевского определяет рефлексию категории нульмерных пространств в подкатегорию нульмерных компактных пространств.

Пусть $\mathop{\mathrm{Clop}}(X)$ обозначает семейство открыто-замкнутых подмножеств нульмерного пространства $X$; $\mathop{\mathrm{Clop}}(X)$ является булевой алгеброй (относительно операций объединения, пересечения и дополнения). Компактификация Банашевского $\beta_0 X$ может быть описана как стоуновское пространство булевой алгебры $\mathop{\mathrm{Clop}}(X)$. Более подробно: пусть $\beta_0 X$ обозначает множество всех ультрафильтров в семействе $\mathop{\mathrm{Clop}}(X)$ с топологией, порождённой базой, состоящей из множеств вида $U^{*}=\{\mathcal{F}\in\beta_0 X: U\in\mathcal{F}\}$ при всевозможных $U\in\mathop{\mathrm{Clop}}X$. Для любых $U,V\in\mathop{\mathrm{Clop}}X$ имеют место равенства $$\begin{gathered} (U\cap V)^{*}=U^{*}\cap V^{*},\quad (U\cup V)^{*}=U^{*}\cup V^{*},\\ (X\setminus U)^{*}=\beta_0 X\setminus U^{*}, \end{gathered}$$и семейство $$\{U^{*}:U\in\mathop{\mathrm{Clop}}X\}$$совпадает с семейством открыто-замкнутых подмножеств пространства $\beta_0 X$. Топологическое пространство $\beta_0 X$ нульмерно и компактно, а отображение $\beta_0\colon X\to\beta_0 X$, определённое правилом $x\mapsto\mathcal{F}_x$, где $\mathcal{F}_x=\{U\in\mathop{\mathrm{Clop}}(X): x\in U\}$, является гомеоморфным вложением, причём $\overline{\beta_0(U)}=U^{*}$ для всех $U\in\mathop{\mathrm{Clop}}X$; в частности $\overline{\beta_0(X)}=\beta_0 X$.

Максимальная компактификация в классе нульмерных пространств названа именем впервые описавшего её Б. Банашевского (Banaschewski. 1955); в оригинальной работе Банашевского эта компактификация обозначалась через $\zeta X$.