Интегри́рующий мно́житель (для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка)

$$P(x, y) d x+Q(x, y) d y=0,\tag{1}$$функция $\mu=\mu(x, y) \neq 0$, обладающая тем свойством, что уравнение

$$\mu(x, y) P(x, y) d x+\mu(x, y) Q(x, y) d y=0$$является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Например, для линейного уравнения $y^{\prime}+a(x) y=f(x)$, или $(a(x) y-f(x)) d x+d y=0$ интегрирующим множителем служит функция $\mu=\exp \int a(x) d x$ . Если уравнение (1) в области $D$, где $P^{2}+Q^{2} \neq 0$, имеет гладкий общий интеграл $U(x, y)=C$, то оно имеет бесконечно много интегрирующих множителей. Если функции $P(x, y)$, $Q(x, y)$ имеют непрерывные частные производные в односвязной области $D$, где $P^{2}+Q^{2} \neq 0$, то в качестве интегрирующего множителя можно взять любое нетривиальное частное решение уравнения с частными производными

$$Q \frac{\partial \mu}{\partial x}-P \frac{\partial \mu}{\partial y}+\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=0\tag{2}$$(Степанов. 2016). Однако общего метода отыскания решений уравнения (2) не существует, и поэтому фактическое нахождение интегрирующего множителя для конкретного уравнения (1) удаётся лишь в исключительных случаях (Камке. 1976).