О́бщий интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений $n$-го порядка

$$x_i'=f_i(t,x_1,\ldots,x_n),\quad i=1,\ldots,n, \tag1$$в области $G$, совокупность $n$ соотношений

$$Φ_i(t,x_1,\ldots,x_n)=C_i, \quad i=1,\ldots,n,\tag2$$содержащая $n$ параметров $(C_1,\ldots,C_n) \in C\subset\mathbf R^n$ и в неявном виде описывающая семейство функций, составляющих общее решение этой системы в области $G$. Часто общий интеграл системы $(1)$ называют не соотношения $(2)$, а совокупность функций

$$Φ_i(t,x_1,\ldots,x_n), \quad i=1,\ldots,n.\tag3$$Каждое из соотношений $(2)$ [или каждая из функций $(3)$] называется первым интегралом системы $(1)$. Иногда под общим интегралом системы $(1)$ понимают совокупность более общих, чем $(2)$, соотношений

$Φ_i(t,x_1,\ldots,x_n, C_1,...,C_n)=0, \quad i=1,\ldots,n.$В случае обыкновенного дифференциального уравнения $n$-го порядка

$y^{(n)}= f(x, y, y' ,\ldots,y^{(n-1)}).$Общий интеграл в области $G$ представляет собой одно соотношение с $n$ параметрами

$Φ(x,y,C_1,\ldots,C_n)=0,$в виде неявной функции, описывающее общее решение этого уравнения в области $G$.

Общий интеграл дифференциального уравнения с частными производными 1-го порядка называется соотношение между переменными, входящими в уравнение, содержащее одну произвольную функцию и определяющее при каждом выборе этой функции решение уравнения.