Дифференциа́льное уравне́ние в по́лных дифференциа́лах, обыкновенное дифференциальное уравнение

$$F\left(x, y, y^{\prime}, \ldots, y^{(n)}\right)=0,\tag{1}$$левая часть которого может быть записана в виде полной производной:

$$\frac{d}{d x} \Phi\left(x, y, y^{\prime}, \ldots, y^{(n-1)}\right)=0 .$$Другими словами, уравнение (1) является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если существует такая дифференцируемая функция $\Phi\left(x, u_{0}, u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right)$, что

$$F\left(x, u_{0}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \equiv \Phi_{x}^{\prime}+u_{1} \Phi_{u_{0}}^{\prime}+u_{2} \Phi_{u_{1}}^{\prime}+\ldots+u_{n} \Phi_{u_{n-1}}$$тождественно по всем аргументам. Решение уравнения $n$-го порядка в полных дифференциалах сводится к решению уравнения $(n-1)$-го порядка

$$\Phi\left(x, y, y^{\prime}, \ldots . y^{(n-1)}\right)=C, \quad C=\operatorname{const}.$$Пусть $F\left(x, u_{0}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right)$ есть $n$ раз непрерывно дифференцируемая функция, а $\Phi\left(x, u_{0}, u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right)$ – функция, имеющая непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно. Пусть

$$\begin{gathered} \Delta \Phi=\Phi_{x}^{\prime}+u_{1} \Phi_{u_{0}}^{\prime}+u_{2} \Phi_{u_{1}}^{\prime}+\ldots+u_{n} \Phi_{u_{n-1}^{\prime}}^{\prime}, \\ \Delta_{0} F=F^{\prime}_{u_{n}} \quad \Delta_{\nu} F=F^{\prime}_{u_{n-\nu}}-\Delta\left(\Delta_{\nu-1} F\right), \quad \nu=1,\ldots, n. \end{gathered}$$Для того чтобы уравнение (1) было дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, достаточно, чтобы функции $\Delta_{\nu} F$, $\nu=0,1, \ldots, n$, не зависели от $u_{n}$ и $\Delta_{n} F=0$ (см. Э. Камке, 1976). В частности, $u_{n}$ может входить в $F$ только линейно.

Уравнение 1-го порядка

$$M(x, y)+N(x, y) y^{\prime}=0,\tag{2}$$где функции $M, N, M_{y}^{\prime}, N_{x}^{\prime}$ определены и непрерывны в открытой односвязной области $D$ плоскости $(x, y)$ и $M^{2}+N^{2}>0$ в $D$, будет дифференциальным уравнением в полных дифференциалах в том и только в том случае, когда

$$M_{y}^{\prime}(x, y)=N_{x}^{\prime}(x, y) \text { в } D.$$Общее решение уравнения (2) в полных дифференциалах имеет вид $\Phi(x, y)=0$, где

$$\Phi(x, y)=\int_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}^{(x, y)} M(x, y)\,d x+N(x, y)\,d y$$и интеграл берется по любой спрямляемой кривой, лежащей в области $D$ и соединяющей произвольную фиксированную точку $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in D$ с точкой $(x, y)$ (см. Н. П. Еругин, 1972). Уравнение (2) [в общем случае уравнение (1), линейное по $y^{(n)}$] может быть приведено (при некоторых предположениях) к дифференциальному уравнению в полных дифференциалах умножением на интегрирующий множитель.