Интегральная теорема Коши
Интегра́льная теоре́ма Коши́, теорема о равенстве нулю интеграла по замкнутому контуру от аналитической функции комплексного переменного в односвязной области на комплексной плоскости. Если – регулярная аналитическая функция комплексного переменного в односвязной области на комплексной плоскости , то интеграл от , взятый по любой замкнутой спрямляемой кривой , расположенной в , равен нулю, т. е.Эквивалентная формулировка интегральной теоремы Коши утверждает, что интегралне зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего фиксированные точки и в области . Именно такой, в сущности, и была первоначальная формулировка интегральной теоремы Коши, предложенная О. Л. Коши в 1825 г. (Саuсhу. 1884); близкие формулировки имеются в письмах К. Ф. Гаусса (1811). Доказательство О. Коши содержало дополнительное предположение непрерывности производной ; первое полное доказательство дано Э. Гурса (Goursat. 1884). Свойство аналитических функций, выражаемое интегральной теоремой Коши, полностью характеризует последние (см. статью Теорема Мореры), и потому из интегральной теоремы Коши выводятся все основные свойства аналитических функций.
В случае произвольной области на плоскости или на римановой поверхности интегральная теорема Коши может быть сформулирована так: если – регулярная аналитическая функция в области , то интеграл от по любой спрямляемой замкнутой кривой , гомотопной нулю в , равен нулю.
Распространением интегральной теоремы Коши на случай аналитических функций многих комплексных переменных является теорема Коши – Пуанкаре: если , , – регулярная аналитическая функция в области комплексного пространства , , то для любой -мерной поверхности с гладкой границей имеет место равенствогде – сокращённое обозначение голоморфной дифференциальной формыПри поверхность и область имеют одинаковую размерность, (случай классической интегральной теоремы Коши); при размерность меньше размерности , . (См. также статьи Вычет, Интеграл Коши).