Фу́нкция Рамануджа́на, функция $n\to\tau(n)$, где $\tau(n)$ – коэффициент при $x^n$ $(n\geqslant 1)$ разложения произведения

$$D(x)=x\prod_{m=1}^\infty(1-x^m)^{24}$$в степенной ряд:

$$D(x)=\sum_{n=1}^\infty \tau(n)x^n.$$Если положить

$$\Delta(z)=D(e^{2\pi iz}), \; \mathrm{Im} z > 0,$$то функция Рамануджана является $n$-м коэффициентом Фурье параболической формы $\Delta(z)$, впервые исследованной С. Рамануджаном (Ramanujan. 1916). Некоторые значения функции Рамануджана: $\tau(1)=1$, $\tau(2)=-24$, $\tau(3)=252$, $\tau(4)=-1472$, $\tau(5)=4830$, $\tau(6)=-6048$, $\tau(7)=-16744$, $\tau(30)=9458784518400$. С. Рамануджан предположил (а Л. Дж. Морделл доказал) справедливость следующих свойств функции Рамануджана:

$$\tau(mn)=\tau(m)\tau(n); \text{ если } (m,n)=1,$$$$\tau(p^{n+1})=\tau(p^n)\tau(p)-p^1\tau(p^{n-1}), \text{ если } p \text{ - простое }, n\geqslant 1.$$Следовательно, вычисление $\tau(n)$ сводится к вычислению $\tau(p)$, $p$ – простое. Известно, что $|\tau(p)|\leqslant 2p^{11/2}$ (см. статью Гипотеза Рамануджана). Известны многие сравнения, которым удовлетворяет функция Рамануджана. Например, С. Рамануджану было известно сравнение

$$\tau(p)\equiv 1+p^1(\mathrm{mod}\, 691).$$Примеры позже найденных сравнений:

$$\tau(n)\equiv\sigma_{11}(n)(\mathrm{mod}\, 2^1), \text{ если }n\equiv 1(\mathrm{mod}\, 8);$$$$\tau(p)\equiv p+p^{10} (\mathrm{mod}\, 25);$$и т. п.