Эмпири́ческое распределе́ние, распределение выборки, распределение вероятностей, которое определяется по выборке для оценивания истинного распределения. Пусть результаты наблюдений $X_1,\dots, X_n$ – взаимно независимые и одинаково распределённые случайные величины с функцией распределения $\mathscr F(x)$ и пусть $X_{(1)}<X_{(2)}<\dots<X_{(n)}$ – соответствующий вариационный ряд. Эмпирическим распределением, соответствующим $X_1,\dots, X_n$, называется дискретное распределение, приписывающее каждому значению $X_k$ вероятность $1/n$. Функция эмпирического распределения $\mathscr F_n(x)$ называется эмпирической функцией распределения, является ступенчатой функцией со скачками, кратными $1/n$, в точках, определяемых величинами $X_{(1)},\dots, X_{(n)}$:$$\mathscr F_n(x) = \left\{ \begin{aligned} & 0,\ \ \quad x\le X_{(1)},\\ & \frac{k}{n},\quad X_{(k)}<x\le X_{(k+1)},\quad 1\le k\le n-1,\\ & 1,\ \ \quad x>X_{(n)}. \end{aligned}\right.$$При фиксированных значениях $X_1,\dots, X_n$ функция $\hat{\mathscr F}_n (x)$ обладает всеми свойствами обычной функции распределения. При каждом фиксированном действительном $x$ функция $\hat{\mathscr F}_n(x)$ является случайной величиной как функция $X_1,\dots, X_n$. Таким образом, эмпирическое распределение, соответствующее выборке $X_1, \dots, X_n$, задаётся семейством случайных величин $\hat{\mathscr F}_n(x)$, зависящих от действительного параметра $x$. При этом для фиксированного $x$ $$\mathbf{E} \hat{\mathscr F}_n(x) = \mathscr F(x),\quad \mathbf{D} \hat{\mathscr F}_n(x) = \frac{1}{n}\mathscr F(x)[1-\mathscr F(x)]$$и$$\mathbf{P} \Big\{\hat{\mathscr F}_n(x) = \frac{k}{n}\Big\} = C_n^k [\mathscr F(x)]^k [1-\mathscr F(x)]^{n-k}.$$В соответствии с законом больших чисел $\hat{\mathscr F}_n (x)\overset{\mathbf P}{\to} \mathscr F(x)$, $n\to\infty$, при каждом $x$. Это означает, что $\hat{\mathscr F}_n(x)$ – несмещённая и состоятельная оценка функции распределения $\mathscr F(x)$. Функция эмпирического распределения равномерно по $x$ сходится с вероятностью $1$ к $\mathscr F(x)$ при $n\to\infty$, или если$$D_n = \underset{x}{\rm sup}\, |\hat{\mathscr F}_n(x)-\mathscr F(x)|,$$то$$\mathbf{P} \Big\{\underset{n\to \infty}{\rm lim}\, D_n\Big\} = 1$$(теорема Гливенко – Кантелли).

Величина $D_n$ служит мерой близости $\hat{\mathscr F}_n(x)$ к $\mathscr F(x)$. А. Н. Колмогоров (1933) нашёл предельное распределение: для непрерывной функции $\mathscr F(x)$ $$\underset{n\to\infty}{\rm lim}\, \mathbf{P}\Big\{\sqrt n D_n < z\Big\} = K(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^k e^{-2k^2z^2},\quad z>0.$$Если $\mathscr F(x)$ неизвестна, то для проверки гипотезы о том, что эта функция есть заданная непрерывная функция $\mathscr F_0(x)$, применяются критерии, основанные на статистиках типа $D_n$ (см. критерий Колмогорова, критерий Колмогорова – Смирнова, непараметрические методы статистики).

Моменты и любые другие характеристики эмпирического распределения называются выборочными (эмпирическими) моментами и характеристиками, например:

$\overline X = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k$ – выборочное среднее,

$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (X_k-X)^2$ – выборочная дисперсия,

$\hat\alpha_r = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k^r$ – выборочный момент $r$-го порядка,

Выборочные характеристики служат статистическими оценками соответствующих характеристик исходного распределения.