Блужда́ние Берну́лли, случайное блуждание, порождаемое испытаниями Бернулли. На примере блуждания Бернулли можно пояснить некоторые основные черты более общих случайных блужданий. В частности, уже в этой простейшей схеме проявляются свойства «случайности», парадоксальные с точки зрения интуиции.

Блуждание Бернулли можно описать, например, в следующих терминах. Частица движется по оси $x$ («блуждает») по решётке точек вида $kh$ ($k$ – целое, $h>0$). Движение начинается в момент $t = 0$, и положение частицы отмечается только в дискретные моменты времени $0$, $\Delta t$, $2\Delta t$, $З\Delta t$, $\dots$. На каждом шаге координата частицы увеличивается или уменьшается на величину $h$ с вероятностями $p$ и $q =1-p$ соответственно, независимо от предшествующего движения. Таким образом, перемещения в положительном и отрицательном направлениях («успехи» и «неудачи») описываются схемой испытаний Бернулли с вероятностью успеха, равной $p$. Обычно блуждание Бернулли изображают геометрически, беря ось $t$ за ось абсцисс, а ось $x$ – за ось ординат (см. рис. 1, где показан начальный участок графика движения частицы, начинающей блуждание из нуля).

Рис. 1. Начальный участок графика движения частицы, совершающей блуждание Бернулли.Рис. 1. Начальный участок графика движения частицы, совершающей блуждание Бернулли.Пусть $X_j$ – случайная величина, равная перемещению частицы на $j$-м шаге. Тогда $X_1$, $X_2$, $\dots$, $X_n$, $\dots$ образуют последовательность независимых случайных величин. Координата блуждающей частицы в момент $n\Delta t$ равна сумме $S_n = X_1+\dots+X_n$. Поэтому график блуждания Бернулли даёт также наглядное представление о поведении нарастающих сумм случайных величин, причём многие характерные черты флуктуаций сохраняются и для сумм значительно более общих случайных величин. Этот график показывает также изменения капитала одного из игроков в классической задаче о разорении (именно в связи с этой задачей были найдены формулы для вероятностей многих событий в блуждании Бернулли).

В физике блуждание Бернулли используют для грубого описания одномерных процессов диффузии и броуновского движения материальных частиц под действием ударов молекул. Из важнейших фактов, связанных с блужданием Бернулли, можно отметить следующие (при этом ниже, если не оговорено противное, принято допущение $\Delta t=1$, $h = 1$).

Вероятности возвращения. Пусть блуждание начинается из нуля. Тогда вероятность хотя бы одного возвращения в нуль равна $1-|p-q|$, т. е. равна единице в симметричном случае $p=q=1/2$ и меньше единицы при $p\ne q$. В симметричном случае величины $\tau_1$ (время до первого возвращения в нуль) и $\tau_2$ (время между первым и вторым возвращениями) и т. д. суть независимые случайные величины с бесконечным математическим ожиданием. Время до $N$-го возвращения, т. е. сумма $\tau_1+\dots+\tau_N$ растёт как $N^2$, а среднее число $N_{2n}$ возвращений за $2n$ шагов задаётся формулой$$\mathsf{E}(N_{2n}) = \frac{2n+1}{2^{2n}}C_{2n}^n -1$$и растёт как $\sqrt{n}$:$$\mathsf{E}(N_{2n}) \sim 2\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{\pi}}.$$

Рис. 2. Графики трёх блужданий Бернулли; каждое наблюдалось на протяжении 200 000 единиц времени.Рис. 2. Графики трёх блужданий Бернулли; каждое наблюдалось на протяжении 200 000 единиц времени.Отсюда вытекает парадоксальное следствие: в симметричном блуждании Бернулли «волны» на графике между последовательными возвращениями в нуль оказываются поразительно длинными (рис. 2). С этим связано и другое обстоятельство, а именно, что для $T_n/n$ (доли времени, когда график находится выше оси абсцисс) наименее вероятными оказываются значения, близкие к $1/2$. Точнее, справедливо следующее утверждение: при $k\to\infty$, $n-k\to\infty$ для вероятности $p_{2n,2k}$ равенства $T_{2n}=2k$ имеет место формула:$$p_{2n,2k}\sim\frac{1}{\pi n \sqrt{x(1-x)}},$$где $x=x_{n,k}=k/n$. Следствием является т. н. закон арксинуса: при каждом $0 <\alpha < 1$ вероятность неравенства $T_{n}/n<\alpha$ стремится к$$\frac{1}{\pi}\int_0^\alpha \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} = \frac{2}{\pi} \operatorname{arcsin}\sqrt{a}.$$Опираясь на этот факт, можно показать, что при 10 000 шагов частица остаётся на положительной стороне более чем 9 930 моментов времени с вероятностью $\geqslant 0{,}1$, т. е., грубо говоря, подобное положение будет наблюдаться не реже, чем в одном случае из десяти (хотя на первый взгляд оно кажется абсурдным).

Максимальное отклонение. При $p>q$ или $p<q$ блуждающая частица уходит с вероятностью единица в $+\infty$ или $-\infty$. Поэтому, например, при $p<q$ определена случайная величина$$M^+ = \underset{0\leqslant j<\infty}{\operatorname{max}} S_j,$$и вероятность того, что $M^+=x$, равна$$\Big(1-\frac{p}{q}\Big)\Big(\frac{p}{q}\Big)^x.$$Блуждание Бернулли с границами. Часто рассматривают блуждание Бернулли при наличии поглощающих или отражающих экранов. Пусть, например, блуждание начинается из нуля. Наличие в точке $a$ поглощающего экрана проявляется в том, что по достижении этой точки частица перестаёт двигаться. При наличии в точке $a=(k+1/2)$ ($k\geqslant 0$ целое) отражающего экрана частица с вероятностью $q$ переходит из $k$ в $(k- 1)$ и с вероятностью $p$ остаётся на месте. Основным средством вычисления вероятностей поглощения и вероятностей достижения тех или иных точек служат разностные уравнения. Пусть, например, поглощающий экран стоит в точке $-a$ ($a > 0$). Если $z_{t,x}$ есть вероятность того, что частица, находящаяся в точке $x$ в момент времени $t$, поглотится до момента $n$ (включительно), то имеет место уравнение:$$z_{t,x} = qz_{t+1,x-1} + pz_{t+1,x+1},\quad x>-a,$$со следующими очевидными граничными условиями:$$z_{t,-a} = 1,\quad 0\leqslant t\leqslant n,$$$$z_{n,x}=0,\quad x>-a.$$Решение этой задачи при $p=q=1/2$ было известно А. Муавру и П. Лапласу. Формула Лапласа имеет вид:$$z_{t,x} = 1-\frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \frac{\sin{(a+x)} \varphi}{\sin{\varphi}} (\cos{\varphi})^\gamma\, d\varphi, \tag{$\ast$}$$где$$\gamma = a+x+2\Big[\frac{n-t-x-a}{2}\Big] +1.$$Переход к процессам диффузии. Пусть, например, $p = q =1/2$, $\Delta t = 1/N$, $h=1/\sqrt{N}$. Тогда при $N\to\infty$ многие вероятности, вычисленные для схемы блуждания Бернулли, стремятся к пределам, равным аналогичным вероятностям для броуновского движения. Пусть речь идёт о вероятности того, что частица, вышедшая из нуля, поглотится экраном, стоящим в точке $\alpha$, до момента $T$. Предельным переходом из формулы $(\ast)$ при $n/N=T$, $t= 0$, $x=0$, $a/\sqrt{N} = \alpha$ получается величина$$1 - \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{\alpha/\sqrt{T}} e^{-z^2/2} dz = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_{\alpha/\sqrt{T}}^\infty e^{-z^2/2} dz,$$равная вероятности того, что координата $X(v)$ частицы, совершающей броуновское движение, удовлетворяет неравенству:$$\underset{0\leqslant v\leqslant T}{\operatorname{min}} X(v)\leqslant -\alpha,$$т. е. вероятности того, что частица поглотится на барьере – $\alpha$. Для более или менее полного описания всех подобных предельных соотношений уместно встать на общую точку зрения и рассмотреть переход от дискретного процесса «нарастающих сумм» к непрерывному случайному процессу (см. Предельные теоремы).

На схеме блуждания Бернулли можно весьма наглядно пояснить такие закономерности поведения сумм случайных величин, как усиленный закон больших чисел и закон повторного логарифма.