Аналити́ческая лу́па, многообразие $M$, наделённое структурой $M$, основные операции которой (умножение, левое и правое деление) являются аналитическими отображениями $M \times M$ в $M$. Если $e$ – единица лупы $M, g(t), h(t)$ – аналитические пути, выходящие из $e$ и имеющие в точке $e$ касательные векторы $a, b$, то касательный вектор $c=a b$ в $e$ к пути $k(t)$, где

$$k\left(t^2\right)=g(t) h(t) /[h(t) g(t)],$$есть билинейная функция векторов $a, b$. Касательное пространство $T(M)$ в точке $e$ с операцией умножения $c=a b$ называется касательной алгеброй лупы $M$. Координаты $\left(x^1, \ldots, x^n\right)$ в некоторой окрестности $U$ элемента $e=(0, \ldots, 0)$ называются каноническими $1$-го рода, если для любого вектора $a=\left(a^1, \ldots, a^n\right)$ кривая $x(t)=\left(a^1 t, \ldots, a^n t\right)$ является локальной однопараметрической подгруппой $(|t| \leqslant \varepsilon)$ с касательным вектором $a$ в точке $e$ (см. Мальцев. 1955). Аналитическая лупа с ассоциативными степенями обладает каноническими координатами $1$-го рода (Кузьмин. 1971). В этом случае отображение $a \rightarrow x(1)$, определённое для достаточно малых $a$, позволяет отождествить $U$ с окрестностью начала координат в $T(M)$ и наделить $T(M)$ строением локальной аналитической лупы $M_0$. Если аналитическая лупа $M$ альтернативна, т. е. любые два её элемента порождают подгруппу, то касательная алгебра $T(M)$ бинарно лиева, а умножение $(x, y) \rightarrow x \circ y$ в $M_0$ выражается формулой Кэмпбелла – Хаусдорфа. Любая конечномерная бинарно лиева алгебра над полем $\mathbb{R}$ есть касательная алгебра одной и (с точностью до локальных изоморфизмов) только одной локальной альтернативной аналитической лупы (Мальцев. 1955).

Наиболее полно изучены аналитические лупы Муфанг. Касательная алгебра аналитической лупы Муфанг удовлетворяет тождествам

$$x^2=0,\quad J(x, y, x z)=J(x, y, z) x,$$где

$$J(x, y, z)=(x y) z+(y z) x+(z x) y;$$такие алгебры называются алгебрами Мальцева. Обратно, любая конечномерная алгебра Мальцева над $\mathbb{R}$ является касательной алгеброй некоторой односвязной аналитической лупы Муфанг $M$, определённой однозначно с точностью до изоморфизма (см. Кузьмин. 1971; Кердман. 1979). Если $M^{\prime}$ – связная аналитическая лупа Муфанг с той же касательной алгеброй и, следовательно, локально изоморфная $M$, то существует эпиморфизм $M \rightarrow M^{\prime}$, ядро которого $H$ есть дискретная нормальная подгруппа в $M$; при этом фундаментальная группа $\pi\left(M^{\prime}\right)$ пространства $M^{\prime}$ изоморфна $H$. Если $\varphi$ – локальный гомоморфизм односвязной аналитической лупы Муфанг $M$ в связную аналитическую лупу Муфанг $M^{\prime}$, то $\varphi$ однозначно продолжается до гомоморфизма $M$ в $M^{\prime}$. Пространство односвязной аналитической лупы Муфанг с разрешимой касательной алгеброй Мальцева аналитически изоморфно евклидову пространству $\mathbb{R}^n$ (см. Кердман. 1979).