Алгебра Хопфа

А́лгебра Хо́пфа, биалгебра – градуированный модуль $A$ над ассоциативно-коммутативным кольцом $K$ с единицей, снабжённый одновременно структурой ассоциативной градуированной алгебры $\mu: A \otimes A \rightarrow A$ с единицей $\iota: K \rightarrow A$ и структурой ассоциативной градуированной коалгебры $\delta: A \rightarrow A \otimes A$ с коединицей $\varepsilon: A \rightarrow K$, причём выполнены условия:

1) $\iota$ – гомоморфизм градуированных коалгебр;

2) $\varepsilon$ – гомоморфизм градуированных алгебр;

3) $\delta$ – гомоморфизм градуированных алгебр.

Условие 3) эквивалентно условию:

3’) $\mu$ – гомоморфизм градуированных коалгебр.

Иногда требование ассоциативности коумножения отбрасывается; такие алгебры называются квазихопфовыми.

Для любых двух алгебр Хопфа $A$ и $B$ над $K$ их тензорное произведение $A \otimes B$ снабжается естественной структурой алгебры Хопфа. Пусть $A=\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} A_{n}$ – алгебра Хопфа, причём все $A_{n}$ – конечно порожденные проективные $K$-модули. Toгда $A^{*}=\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} A_{n}^{*}$, где $A_{n}^{*}$ – модуль, сопряжённый к $A_{n}$, снабжённый гомоморфизмами градуированных модулей $\delta^{*}: A^{*} \otimes A^{*} \rightarrow A^{*}$, $\varepsilon^{*}: K \rightarrow A^{*}$, $\mu^{*}: A^{*} \rightarrow A^{*} \otimes A^{*}$, $\iota^*:A^*\rightarrow K$, является алгеброй Хопфа; она называется двойственной к $A$.

Элемент $x$ алгебры Хопфа $A$ называется примитивным, если

$\delta(x)=x \otimes 1+1 \otimes x.$Примитивные элементы составляют градуированную подалгебру $P_{A}$ в $A$ относительно операции

$[x, y]=xy-(-1)^{pq}yx,\quad x \in A_{p},\quad y \in A_{q}.$Если $A$ связна (т. е. $A_{n}=0$ для $n<0$, $A_{0}=K$) и $K$ – поле характеристики $0$, то подпространство $P_{A}$ порождает алгебру $A$ (относительно умножения) тогда и только тогда, когда коумножение градуированно коммутативно (Мilnor J. W., Moore J. G., 1965).

Пpимеры. 1. Для любой градуированной алгебры Ли $\mathfrak{g}$ (т. е. градуированной алгебры, являющейся супeралгеброй Ли относительно естественной $\mathbb{Z}_{2}$-градуировки) универсальная обёртывающая алгебра $U(\mathfrak{g})$ становится алгеброй Хопфа, если положить

$\varepsilon(x)=0,\quad \delta(x)=x \otimes 1+1 \otimes x, \quad x \in \mathfrak{g}.$При этом $P_{U(\mathfrak{g})}=\mathfrak{g}$. Если $K$ – поле характеристики $0$, то связная алгебра Хопфа $A$, порожденная примитивными элементами, естественно изоморфна $U(P_{A})$ (см. Мilnor J. W., Moore J. G., 1965).

2. Аналогично определяется структура алгебры Хопфа (с тривиальной градуировкой) в групповой алгебре $K[G]$ произвольной группы $G$.

3. Алгебра регулярных функций на аффинной алгебраической группе $G$ становится алгеброй Хопфа (с тривиальной градуировкой), если определить гомоморфизмы $\delta$ и $\varepsilon$ с помощью умножения $G \times G \rightarrow G$ и вложения $\{e\} \rightarrow G$, где $e$ – единица группы $G$ (см. Борель А. 1972).

4. Пусть $G$ – линейно связное $H$-пространство с умножением $m$ и единицей $e$ и пусть $\Delta: G \rightarrow G \times G$, $\iota \{e\} \rightarrow G$, $p: G \rightarrow\{e\}$ определяются формулами $\Delta(a)=(a, a)$, $\iota (e)=e$, $p(a)=e$, $a \in G$. Если все модули когомологий $H^{n}(G,K)$ проективны и конечно порождены, то отображения $\mu=\Delta^{*}$, $\iota=p^{*}$, $\delta=m^{*}$, $\varepsilon=\iota^{*}$, индуцированные в когомологиях, превращают $H^{*}(G,K)$ в градуированно коммутативную квазихопфову алгебру. Если умножение $m$ гомотопно ассоциативно, то $H^{*}(G,K)$ – алгебра Хопфа, a двойственная ей алгебра Хопфа есть алгебра гомологий $H_{*}(G,K)$, снабжённая отображениями $m_{*}$, $\iota_*$, $\Delta_*$, $p_*$ (алгебра Понтрягина). Если $K$ – поле характеристики $0$, то алгебра Понтрягина порождается примитивными элементами и изоморфна $U(\pi(G,K))$, где $\pi(G,K)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_{i}(G) \otimes K$ рассматривается как градуированная алгебра Ли относительно произведения Самельсона (см. Мilnor J. W., Moore J. G., 1965).

Алгебра $H^{*}(G,K)$ из примера 4 была впервые рассмотрена X. Хопфом, показавшим, что она является внешней алгеброй с образующими нечётных степеней, если $K$ – поле характеристики $0$ и $H^{*}(G,K)$ конечномерна. Строение произвольной связной градуированно коммутативной квазихопфовой алгебры $A$ с условием $\operatorname{dim} A_{n}<\infty$, $n \in \mathbb{Z}$, над совершенным полем $K$ характеристики $p$ описывается следующей теоремой (см. Борель А. 1958). Алгебра $A$ разлагается в тензорное произведение алгебр с одной образующей $x$ и соотношением $x^s=0$, где при $p=2$ $s$ – степень двойки или $\infty$, а при $p \neq 2$ $s$ — степень $p$ или $\infty$ ($\infty$ при $p=0$), если $x$ имеет чётную степень и $s=2$, если $x$ имеет нечётную степень. В частности, при $p=0$ $A$ есть тензорное произведение внешней алгебры с образующими нечётных степеней и алгебры многочленов с образующими чётных степеней. С другой стороны, всякая связная алгебра Хопфа $A$ над полем $K$, в которой $x^{2}=0$ для любого элемента $x$ нечётной степени и все элементы чётной степени разложимы, есть внешняя алгебра $A=\Lambda P_{A}$. В частности, таковы алгебра когомологий и алгебра Понтрягина связной компактной группы Ли над полем $R$.