Термины

Алгебра Хопфа

А́лгебра Хо́пфа, биалгебра – градуированный модуль AA над ассоциативно-коммутативным KK с единицей, снабжённый одновременно структурой ассоциативной μ:AAA\mu: A \otimes A \rightarrow A с единицей ι:KA\iota: K \rightarrow A и структурой ассоциативной градуированной δ:AAA\delta: A \rightarrow A \otimes A с коединицей ε:AK\varepsilon: A \rightarrow K, причём выполнены условия:

1) ι\iota градуированных коалгебр;

2) ε\varepsilon – гомоморфизм градуированных алгебр;

3) δ\delta – гомоморфизм градуированных алгебр.

Условие 3) эквивалентно условию:

3’) μ\mu – гомоморфизм градуированных коалгебр.

Иногда требование ассоциативности коумножения отбрасывается; такие алгебры называются квазихопфовыми.

Для любых двух алгебр Хопфа AA и BB над KK их ABA \otimes B снабжается естественной структурой алгебры Хопфа. Пусть A=nZAnA=\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} A_{n} – алгебра Хопфа, причём все AnA_{n} – конечно порожденные проективные KK-модули. Toгда A=nZAnA^{*}=\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} A_{n}^{*}, где AnA_{n}^{*} – модуль, сопряжённый к AnA_{n}, снабжённый гомоморфизмами градуированных модулей δ:AAA\delta^{*}: A^{*} \otimes A^{*} \rightarrow A^{*}, ε:KA\varepsilon^{*}: K \rightarrow A^{*}, μ:AAA\mu^{*}: A^{*} \rightarrow A^{*} \otimes A^{*}, ι:AK\iota^*:A^*\rightarrow K, является алгеброй Хопфа; она называется двойственной к AA.

Элемент xx алгебры Хопфа AA называется примитивным, если

δ(x)=x1+1x.\delta(x)=x \otimes 1+1 \otimes x.Примитивные элементы составляют градуированную подалгебру PAP_{A} в AA относительно операции

[x,y]=xy(1)pqyx,xAp,yAq.[x, y]=xy-(-1)^{pq}yx,\quad x \in A_{p},\quad y \in A_{q}. Если AA связна (т. е. An=0A_{n}=0 для n<0n<0, A0=KA_{0}=K) и KK – поле характеристики 00, то подпространство PAP_{A} порождает алгебру AA (относительно умножения) тогда и только тогда, когда коумножение градуированно коммутативно ().

Пpимеры. 1. Для любой градуированной g\mathfrak{g} (т. е. градуированной алгебры, являющейся супeралгеброй Ли относительно естественной Z2\mathbb{Z}_{2}-градуировки) универсальная обёртывающая алгебра U(g)U(\mathfrak{g}) становится алгеброй Хопфа, если положить

ε(x)=0,δ(x)=x1+1x,xg.\varepsilon(x)=0,\quad \delta(x)=x \otimes 1+1 \otimes x, \quad x \in \mathfrak{g}. При этом PU(g)=gP_{U(\mathfrak{g})}=\mathfrak{g}. Если KK – поле характеристики 00, то связная алгебра Хопфа AA, порожденная примитивными элементами, естественно изоморфна U(PA)U(P_{A}) (см. ).

2. Аналогично определяется структура алгебры Хопфа (с тривиальной градуировкой) в групповой алгебре K[G]K[G] произвольной группы GG.

3. Алгебра регулярных функций на аффинной GG становится алгеброй Хопфа (с тривиальной градуировкой), если определить гомоморфизмы δ\delta и ε\varepsilon с помощью умножения G×GGG \times G \rightarrow G и вложения {e}G\{e\} \rightarrow G, где ee – единица группы GG (см. ).

4. Пусть GG – линейно связное HH-пространство с умножением mm и единицей ee и пусть Δ:GG×G\Delta: G \rightarrow G \times G, ι{e}G\iota \{e\} \rightarrow G, p:G{e}p: G \rightarrow\{e\} определяются формулами Δ(a)=(a,a)\Delta(a)=(a, a), ι(e)=e\iota (e)=e, p(a)=ep(a)=e, aGa \in G. Если все модули когомологий Hn(G,K)H^{n}(G,K) проективны и конечно порождены, то отображения μ=Δ\mu=\Delta^{*}, ι=p\iota=p^{*}, δ=m\delta=m^{*}, ε=ι\varepsilon=\iota^{*}, индуцированные в когомологиях, превращают H(G,K)H^{*}(G,K) в градуированно коммутативную квазихопфову алгебру. Если умножение mm гомотопно ассоциативно, то H(G,K)H^{*}(G,K) – алгебра Хопфа, a двойственная ей алгебра Хопфа есть алгебра гомологий H(G,K)H_{*}(G,K), снабжённая отображениями mm_{*}, ι\iota_*, Δ\Delta_*, pp_* (алгебра Понтрягина). Если KK – поле характеристики 00, то алгебра Понтрягина порождается примитивными элементами и изоморфна U(π(G,K))U(\pi(G,K)), где π(G,K)=i=0πi(G)K\pi(G,K)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_{i}(G) \otimes K рассматривается как градуированная алгебра Ли относительно произведения Самельсона (см. ).

Алгебра H(G,K)H^{*}(G,K) из примера 4 была впервые рассмотрена , показавшим, что она является внешней алгеброй с образующими нечётных степеней, если KK – поле характеристики 00 и H(G,K)H^{*}(G,K) конечномерна. Строение произвольной связной градуированно коммутативной квазихопфовой алгебры AA с условием dimAn<\operatorname{dim} A_{n}<\infty, nZn \in \mathbb{Z}, над совершенным полем KK характеристики pp описывается следующей теоремой (см. ). Алгебра AA разлагается в тензорное произведение алгебр с одной образующей xx и соотношением xs=0x^s=0, где при p=2p=2 ss – степень двойки или \infty, а при p2p \neq 2 ss — степень pp или \infty (\infty при p=0p=0), если xx имеет чётную степень и s=2s=2, если xx имеет нечётную степень. В частности, при p=0p=0 AA есть тензорное произведение внешней алгебры с образующими нечётных степеней и алгебры многочленов с образующими чётных степеней. С другой стороны, всякая связная алгебра Хопфа AA над полем KK, в которой x2=0x^{2}=0 для любого элемента xx нечётной степени и все элементы чётной степени разложимы, есть внешняя алгебра A=ΛPAA=\Lambda P_{A}. В частности, таковы алгебра когомологий и алгебра Понтрягина связной компактной группы Ли над полем RR.

Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1978.
  • Градуированная алгебра
  • Гомоморфизм