G-адические числа

${\displaystyle {\text{g}}}$-ади́ческие чи́сла, элементы кольца ${\displaystyle g}$-адических чисел, которое представляет собой пополнение поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ по ${\displaystyle g}$-адическому псевдонормированию.

Пусть ${\displaystyle g}$ – натуральное число, большее ${\displaystyle 1}$. Для любого рационального числа, заданного неприводимой дробью ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$, существует единственное целое число ${\displaystyle f}$, удовлетворяющее условиям

${\displaystyle g^{f}{\frac {a}{b}}={\frac {A}{B}}}$,

где ${\displaystyle A,B}$ – целые числа, причём наибольший общий делитель ${\displaystyle {\text{НОД}}(A,B)=1}$, ${\displaystyle {\text{НОД}}(g,B)=1}$, ${\displaystyle g}$ не делит число ${\displaystyle A}$. Тогда полагают

${\displaystyle |{\frac {a}{b}}|_{g}=g^{f}}$

и называют эту величину ${\displaystyle g}$-адическим псевдонормированием поля рациональных чисел. В случае когда ${\displaystyle g=p}$, ${\displaystyle p}$ – простое число, получаем ${\displaystyle p}$-адическое нормирование.

${\displaystyle g}$-адическое псевдонормирование обладает следующими свойствами: ${\displaystyle |0|_{g}=0}$ и для любых рациональных чисел ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

${\displaystyle |\alpha \pm \beta |_{g}\ \leq \max \ {\{|\alpha |_{g},|\beta |_{g}\}}}$,

т. е. это неархимедово псевдонормирование, и ${\displaystyle |\alpha \beta |_{g}\leq |\alpha |_{g}\ |\beta |_{g}}$. В случае когда ${\displaystyle g=p}$, ${\displaystyle p}$ – простое число, ${\displaystyle |\alpha \beta |_{g}=|\alpha |_{g}\ |\beta |_{g}}$. Как отмечено выше, пополнение поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ по ${\displaystyle g}$-адическому псевдонормированию называется кольцом ${\displaystyle g}$-адических чисел и обозначается

${\displaystyle \mathbb {Q} _{g}}$. Каноническое представление элемента ${\displaystyle \mathbb {Q} _{g}}$ имеет вид

${\displaystyle \sum _{n=f}^{\infty }a_{n}g^{n},\ \ \ \ \ a_{n}\in {\{0,1,...,g-1}\}}$.

В случае когда ${\displaystyle g=p}$, ${\displaystyle p}$ – простое число, получаем поле ${\displaystyle p}$-адических чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$. В случае составного числа ${\displaystyle g}$ кольцо ${\displaystyle \mathbb {Q} _{g}}$ представляет собой коммутативное кольцо с единицей и с делителями нуля.

Если ${\displaystyle g={p_{1}}^{k_{1}}\ \ldots {p_{s}}^{k_{s}}}$, где ${\displaystyle k_{1},\ldots ,\ k_{s}}$ – натуральные числа, ${\displaystyle p_{1},\ldots p_{s}}$ – простые числа, то кольцо ${\displaystyle \mathbb {Q} _{g}}$ является прямой суммой полей ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p_{1}\ },\ldots ,\ \mathbb {Q} _{p_{s}\ }}$.

Изучению свойств ${\displaystyle p}$-адических чисел посвящено намного больше работ. Подробное описание свойств g-адических чисел содержится в книге К. Малера (^[1]).

${\displaystyle g}$-адические числа используются в алгебраических задачах. Рассматриваются модули над кольцами ${\displaystyle \mathbb {Q} _{g}}$ (^[2]). Можно отметить связь ${\displaystyle p}$-адических и ${\displaystyle g}$-адических чисел с фракталами.