Уравнения математической физики

Уравне́ния математи́ческой фи́зики, дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегродифференциальные и т. д.), к которым приводит математический анализ физических явлений. Для полного описания динамики физического процесса, помимо уравнений, необходимо задать состояние процесса в некоторый фиксированный момент времени (начальные условия) и режим на границе среды, где протекает этот процесс (граничные условия). Начальные и граничные условия образуют краевые условия, а дифференциальные уравнения вместе с соответствующими краевыми условиями приводят к краевым задачам математической физики.

В 19 в. в математической физике изучались: уравнение Пуассона

${\displaystyle \Delta u=f,\;u=u(x),\;f=f(x),\;x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in G,}$ (1)

где ${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\ldots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$ и ${\displaystyle G}$ – область в ${\displaystyle n}$-мерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (при ${\displaystyle f=0}$ это уравнение превращается в уравнение Лапласа); уравнение теплопроводности

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=a^{2}\Delta u+f,\;u=u(x,t),\;f=f(x,t),\;x\in G\subset \mathbb {R} ^{n},\;t>0,}$ (2)

и волновое уравнение

${\displaystyle \square u=f,\;u=u(x,t),\;f=f(x,t),\;x\in G\subset \mathbb {R} ^{n},\;t>0,}$ (3)

где ${\displaystyle \square ={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta }$ – оператор Д’Аламбера (даламбертиан). Уравнения (2) и (3), не зависящие от параметра ${\displaystyle t}$, который обычно играет роль времени, называются стационарными; они сводятся к уравнению (1).

В 1860 г. появилось уравнение Гельмгольца

${\displaystyle \Delta u+k^{2}u=-f,\;u=u(x),\;f=f(x),\;x\in \mathbb {R} ^{3},}$ (4)

описывающее установившиеся колебательные процессы; при ${\displaystyle k=0}$ это уравнение превращается в уравнение (1). В 1920-х гг. появилось уравнение Клейна – Гордона – Фока

${\displaystyle \Box u+m^{2}u=0,\;u=u(t,x)}$.

Кроме перечисленных уравнений, в теории уравнений математической физики рассматривались уравнение Ньютона движения частицы массы ${\displaystyle m}$ в поле с потенциалом ${\displaystyle V(x)}$, ${\displaystyle x=x(t)\in \mathbb {R} ^{3}}$,

${\displaystyle m{\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}=-\operatorname {grad} V(x),}$ (5)

уравнение Кортевега – де Фриза

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0,\;u=u(x,t),\;x\in \mathbb {R} ^{1}}$,

описывающее распространение волн на мелкой воде, и уравнение колебаний маятника

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+a^{2}\sin u=0,\quad u=u(t)}$.

Для уравнения (1) граничные условия ${\displaystyle u\mid _{x\in S}=v(x)}$ или

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}\mid _{x\in S}=v_{1}(x),\;}$ (6)

где ${\displaystyle S}$ – граница области ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle n}$ – вектор внешней нормали к ${\displaystyle S}$, приводят к задачам, называемым задачей Дирихле и задачей Неймана соответственно. Для уравнения (2) начальное условие

${\displaystyle u(x,0)=u_{0}({\text{х}}),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},}$ (7)

определяет задачу Коши. Для уравнения (3) начальные условия

${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x),\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}\mid _{t=0}=u_{1}(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},}$ (8)

определяют задачу Коши. Для уравнений (2) и (3) рассматриваются также смешанные задачи, которые содержат как граничные условия (6), так и начальные условия (7) или (8). Для уравнения (4) рассматриваются граничные условия на бесконечности, которые имеют вид ${\displaystyle u(x)=e^{ik(a,x)}+v(x)}$, ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{3}}$, ${\displaystyle \mid a\mid =1}$, где ${\displaystyle i}$ – мнимая единица, ${\displaystyle (a,x)}$ означает скалярное произведение ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle x}$, а функция ${\displaystyle v(x)}$ удовлетворяет условиям излучения Зоммерфельда

${\displaystyle v(x)=O(\mid x\mid ^{-1}),\quad {\frac {\partial v(x)}{\partial \mid x\mid }}-ikv(x)=o(\mid x\mid ^{-1}),\quad \mid x\mid ->\infty }$.

Для уравнения Ньютона (5) задаются начальные положение ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ и скорость ${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial t}}\mid _{t=0}=x_{1}}$ частицы при ${\displaystyle t=0}$.

К более сложным уравнениям математической физики относятся системы нелинейных дифференциальных уравнений гидродинамики, уравнения Гамильтона, уравнение Лиувилля, уравнения Максвелла, уравнения Навье – Стокса и др. Перечисленные уравнения и соответствующие краевые задачи составляют предмет классической математической физики, которая не утрачивает своего значения.

В уравнениях математической физики выделяется важный класс задач, поставленных корректно по Адамару, т. е. задач, для которых решение существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных.

В 20 в. с развитием квантовой физики, теории относительности и ядерной энергетики появились уравнения и краевые задачи современной математической физики, среди которых – уравнение Шрёдингера

${\displaystyle i{\text{ℏ}}{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {{\text{ℏ}}^{2}}{2m}}\Delta u+V(x)u,\quad u=u(x,t),\quad x\in \mathbb {R} ^{3}}$,

где ${\displaystyle {\text{ℏ}}}$ – постоянная Планка, ${\displaystyle m}$ – масса частицы, и для этого уравнения ставится задача Коши. Для стационарного уравнения Шрёдингера граничным условием может быть условие принадлежности функции ${\displaystyle u}$ к гильбертову пространству ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ^{3})}$, отражающее поведение решения на бесконечности. Среди уравнений современной математической физики – односкоростное уравнение переноса для изотропного рассеяния

${\displaystyle {\frac {1}{v}}{\frac {\partial u}{\partial t}}+(\Omega ,\operatorname {grad} \;u)+\alpha u={\frac {\beta }{4\pi }}\int _{\mid \Omega '\mid =1}u(x,\Omega ',t)\,d\Omega '+F}$,

где ${\displaystyle u(t,\Omega ,x)}$ – плотность частиц, движущихся со скоростью ${\displaystyle v}$ в направлении ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle \Omega \in \mathbb {R} ^{3}}$, ${\displaystyle \mid \Omega \mid =1}$, в точке ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$ в момент времени ${\displaystyle t}$, и для этого уравнения рассматривается задача Коши. Для стационарного уравнения переноса в качестве граничного условия для выпуклой области рассматривается условие ${\displaystyle u(t,\Omega ,x)=0}$, при ${\displaystyle x\in S}$, ${\displaystyle (\Omega ,n)<0}$, где ${\displaystyle S}$ – граница области, ${\displaystyle n}$ – внешняя нормаль к ${\displaystyle S}$. Это условие означает отсутствие падающего потока частиц.

Более сложными уравнениями современной математической физики являются уравнения квантовой теории поля, в частности уравнение Дирака и уравнение Янга – Миллса, уравнения гравитационного поля, цепочка уравнений Боголюбова. К таким уравнениям относятся также уравнения ${\displaystyle p}$-адической математической физики, в частности т. н. уравнение динамики тахионов ${\displaystyle p}$-адических струн ${\displaystyle \exp(\alpha \Box u)=u^{p}}$, ${\displaystyle u=u(t,x)}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d-1}}$, где ${\displaystyle p}$ – простое число, с граничными условиями ${\displaystyle u(\pm \infty ,x)=1}$ для замкнутой струны, ${\displaystyle \alpha =1/4}$; ${\displaystyle u(\pm \infty ,x)=1}$, ${\displaystyle u(\pm \infty ,x)=-1}$ для открытой струны, ${\displaystyle \alpha =1/2}$, ${\displaystyle p\neq 2}$.