Уравнение Лиувилля

Уравне́ние Лиуви́лля, уравнение для функции распределения плотности вероятности ${\displaystyle \rho (q,p)}$ нахождения динамической системы c ${\displaystyle n}$ степенями свободы в ${\displaystyle 2n}$-мерном фазовом пространстве всех обобщённых координат ${\displaystyle q}$ и обобщённых импульсов ${\displaystyle p}$. Вероятность системы находиться в элементе объёма ${\displaystyle (dqdp)}$ фазового пространства равна

${\displaystyle \rho (q,p)dqdp=\rho (q,p)dq_{1}\ldots dq_{n}dp_{1}...\ dp_{n}}$.

Уравнение Лиувилля имеет вид:

${\displaystyle \partial \mathrm {p} /\partial t=\sum _{i}^{\ }[(\partial H/\partial q_{i})(\partial \mathrm {p} /\partial p_{i})-(\partial H/\partial p_{i})(\partial \mathrm {p} /\partial q_{i})]}$,

где ${\displaystyle t}$ – время, ${\displaystyle H}$ – функция Гамильтона. Правая часть данного уравнения представляет собой известное преобразование двух функций многомерного пространства (в данном случае функций ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle \rho }$), именуемое скобками Пуассона – ${\displaystyle \left\{{H,r}\right\}}$. Поэтому уравнение Лиувилля записывают также в виде ${\displaystyle \partial p/\partial t=\{H,p\}}$. Уравнение Лиувилля может быть записано в векторной форме: ${\displaystyle \partial p/\partial t=\mathbf {u} \ \mathrm {grad} p}$, где ${\displaystyle \mathbf {u} }$ – вектор скорости изменения обобщённых координат и импульсов.

Согласно уравнениям Гамильтона, ${\displaystyle \partial H/\partial q_{i}=-dp_{i}/dt,\partial H/\partial p_{i}=dq_{i}/dt}$, поэтому уравнение Лиувилля может быть представлено в виде:

${\displaystyle \partial \mathrm {p} /\partial t=-\sum _{i}^{\ }[(\partial p_{i}/\partial t)(\partial \mathrm {p} /\partial p_{i})+(\partial q_{i}/\partial t)(\partial \mathrm {p} /\partial q_{i})]}$.

Последняя запись есть развёрнутая (в частных производных) форма записи теоремы Лиувилля: ${\displaystyle dp/dt=0}$.

Для квантовых систем вместо классической функции распределения используется квантовый оператор ${\displaystyle {\hat {p}}_{k}}$ – матрица плотности, удовлетворяющая квантовому уравнению Лиувилля: ${\displaystyle i\hbar \partial {\hat {p}}_{k}/\partial t=[{\hat {H}},{\hat {p}}_{k}]}$, где ${\displaystyle {\hat {H}}}$ – оператор Гамильтона, ${\displaystyle i}$ – мнимая единица, ${\displaystyle {\text{ℏ}}}$ – постоянная Планка, квадратные скобки обозначают коммутатор операторов ${\displaystyle {\hat {H}}}$ и ${\displaystyle {\hat {p}}_{k}}$.

Уравнение Лиувилля играет ключевую роль в аппарате статистической физики, т. к. функция распределения ${\displaystyle \rho (q,p)}$ – интеграл движения. Вероятность состояния двух независимых подсистем равна произведению вероятностей, и, следовательно, логарифм функции ${\displaystyle \rho (q,p)}$ – аддитивный интеграл движения. Это позволяет установить фундаментальную связь ${\displaystyle \mathrm {ln} \ \rho (q,p)}$ с известными в механике аддитивными интегралами движения – энергией и др.