Задача Неймана

Зада́ча Не́ймана, вторая краевая задача, одна из краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

Пусть, например, в ограниченной области ${\displaystyle \Omega }$, в каждой точке границы ${\displaystyle \Gamma }$ которой существует нормаль, задано эллиптическое уравнение ${\displaystyle 2}$-го порядка

${\displaystyle Lu=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial u(x)}{\partial x_{i}}}+c(x)u(x)=f(x),}$ (*)

где ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$, ${\displaystyle n\geqslant 2}$. Второй краевой задачей для уравнения (*) в области ${\displaystyle \Omega }$ называется следующая задача: из множества всех решений уравнения (*) требуется выделить те, которые в каждой граничной точке имеют производные по внутренней конормали ${\displaystyle N}$ и удовлетворяют условию

${\displaystyle \left.{\frac {\partial u(x,t)}{\partial N(x)}}\right|_{x\in \Gamma }=\varphi (x)}$,

где ${\displaystyle \varphi (x)}$ – заданная функция.