Уравнение Фредгольма

Уравне́ние Фредго́льма, интегральное уравнение вида

${\displaystyle \displaystyle \int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)\,ds=f(x),\quad x\in [a,b]}$,

– уравнение Фредгольма 1-го рода, или вида

${\displaystyle \varphi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)\,ds=f(x),\quad x\in [a,b],}$ (1)

– уравнение Фредгольма 2-го рода, если интегральный оператор

${\displaystyle K\varphi (x)=\int _{a}^{b}K(x,s)\Phi (s)\,ds,\quad x\in [a,b],}$ (2)

является вполне непрерывным в некотором функциональном пространстве ${\displaystyle E}$. Предполагается, что свободный член ${\displaystyle f}$ и искомая функция ${\displaystyle \varphi }$ принадлежат пространству ${\displaystyle E}$. Важным примером уравнения Фредгольма является уравнение, в котором ядро ${\displaystyle K}$ удовлетворяет условию

${\displaystyle B^{2}=\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}\mid K(x,s)\mid ^{2}\,dx\,ds<\infty ,}$ (3)

а ${\displaystyle E=L_{2}([a,b])}$.

Численный параметр ${\displaystyle \lambda }$ и функции ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle K}$ могут принимать как действительные, так и комплексные значения. Об уравнении Фредгольма 1-го рода см. Интегральное уравнение с симметричным ядром и Некорректные задачи. Ниже рассматриваются лишь уравнения Фредгольма 2-го рода.

Метод последовательных приближений решения уравнения Фредгольма 2-го рода. Это первый метод, который был предложен для решения уравнения (1). Для формулировки этого метода пусть уравнение (1) записано в виде

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda K\varphi (x),\quad x\in [a,b],}$ (4)

Предполагается, что ядро ${\displaystyle K}$ удовлетворяет условию (3), a ${\displaystyle E=L_{2}([a,b])}$. Пусть начальное приближение искомого решения ${\displaystyle \varphi _{0}=f}$; если ${\displaystyle (n-1)}$-е приближение ${\displaystyle \varphi _{n-1}}$ построено, то

${\displaystyle \varphi _{n}=f+\lambda K\varphi _{n-1}}$;

при этом

${\displaystyle \varphi _{n}=\sum _{m=0}^{n}\lambda ^{m}K_{m}f,}$ (5)

где ${\displaystyle K_{m}}$ обозначает ${\displaystyle m}$-е итерированное ядро ядра ${\displaystyle K}$. Функция (5) является частичной суммой ряда

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\lambda ^{m}K_{m}f,}$ (6)

который называется рядом Неймана (или рядом Лиувилля – Неймана). Если ${\displaystyle \mid \lambda \mid <B^{-1}}$, то ряд (6) сходится в среднем к решению уравнения (1), и это решение единственное (см., например, Smithies F., 1941). Если существует такая положительная постоянная ${\displaystyle A}$, что

${\displaystyle \displaystyle \int _{a}^{b}\mid K(x,s)\mid ^{2}\,ds\leqslant A,\quad x\in [a,b]}$,

то ряд (6) сходится абсолютно и равномерно. Вообще говоря, ряд (6) расходится, если ${\displaystyle \mid \lambda \mid \geqslant B^{-1}}$. Именно это так, если ядро ${\displaystyle K}$ имеет характеристическое число. Если же ядро не имеет характеристических чисел (как, например, в случае ядра Вольтерра), то ряд (6) сходится при любом значении ${\displaystyle \lambda }$.

Метод Фредгольма решения уравнений Фредгольма 2-го рода. Метод последовательных приближений дает возможность построить решение уравнения (1), вообще говоря, лишь при малых значениях параметра ${\displaystyle \lambda }$. Метод, дающий возможность решить уравнение (1) для любого значения параметра ${\displaystyle \lambda }$, 6ыл впервые предложен Э. Фредгольмом. B предположении, что ядро ${\displaystyle K}$ непрерывно на квадрате ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$, а свободный член и искомое решение непрерывны на сегменте ${\displaystyle [a,b]}$, ниже кратко описана идея этого метода.

Отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ делится на ${\displaystyle n}$ равных частей длины ${\displaystyle h=(b-a)/n}$. Если заменить интеграл в (1) интегральной суммой, то точное уравнение (1) заменяется приближённым

${\displaystyle \varphi (x)-\lambda h\sum _{i=1}^{n}K\left(x,s_{j}\right)\varphi \left(s_{j}\right)=f(x),\quad x\in [a,b].}$ (7)

Полагая в (7) последовательно ${\displaystyle x=s_{1},\ldots ,s_{n}}$, для определения приближённого значения неизвестной функции ${\displaystyle \varphi }$ в точках ${\displaystyle s_{j}}$ получают линейную алгебраическую систему

${\displaystyle \varphi _{i}-\lambda h\sum _{j=0}^{n}K_{ij}\varphi _{j}=f_{i},\quad i=1,2,\ldots ,n,}$ (8)

где ${\displaystyle f\left(s_{i}\right)=f_{i}}$, ${\displaystyle \varphi \left(s_{i}\right)=\varphi _{i}}$, ${\displaystyle K\left(s_{i},s_{j}\right)=K_{ij}}$. Разрешимость системы (8) зависит от значения определителя

${\displaystyle \Delta (\lambda )={\begin{vmatrix}1-\lambda hK_{11}&-\lambda hK_{12}&\dots &-\lambda hK_{1n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\-\lambda hK_{n1}&-\lambda hK_{n2}&\dots &1-\lambda hK_{nn}\end{vmatrix}}}$,

который является многочленом относительно ${\displaystyle \lambda }$. Если ${\displaystyle \lambda }$ отличен от корней этого многочлена, то система (8) разрешима. Решив эту систему и подставив полученные значения ${\displaystyle \varphi _{i}=\varphi \left(s_{j}\right)}$ в (7), получают приближённое решение уравнения (1)

${\displaystyle \varphi (x)\approx f(x)+\lambda {\dfrac {Q\left(x,s_{1},\ldots ,s_{n};\lambda \right)}{\Delta (\lambda )}},}$ (9)

где ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle \Delta }$ – многочлены относительно ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$. Приведённый путь является одним из возможных вариантов построения приближённого решения уравнения Фредгольма (1).

Можно ожидать, что в пределе, когда ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ так, что интегральная сумма в (7) совпадает с интегралом в (1), предел правой части в (9) совпадает с точным решением уравнения (1). С помощью формальных переходов к пределам в соответствующих выражениях Э. Фредгольм установил формулу, которая должна представлять решение уравнения (1)

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}R(x,s;\lambda )f(s)\,ds,}$ (10)

где

${\displaystyle R(x,s;\lambda )=D\left(x,s;\lambda \right)/D(\lambda ),}$ (11)

${\displaystyle D(\lambda )=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!}}A_{m}\lambda ^{m},}$ (12)

${\displaystyle D(x,s;\lambda )=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!}}B_{m}(x,s)\lambda ^{m},}$ (13)

${\displaystyle A_{m}=\int _{a}^{b}\ldots \int _{a}^{b}K{\begin{pmatrix}s_{1},&s_{2},&\ldots ,&s_{m}\\s_{1},\;&s_{2},&\ldots ,&s_{m}\end{pmatrix}}\,ds_{1}\ldots \,ds_{m},}$ (14)

${\displaystyle B_{m}(x,s)=\int _{a}^{b}\ldots \int _{a}^{b}K{\begin{pmatrix}x,&s_{1},&\ldots ,&s_{m}\\s,&s_{1},&\ldots ,&s_{m}\end{pmatrix}}ds_{1}\ldots ds_{m},}$ (15)

${\displaystyle K{\begin{pmatrix}x_{1},&x_{2},&\ldots ,&x_{n}\\s_{1},&s_{2},&\ldots ,&s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}K(x_{1},s_{1})&K(x_{1},s_{2})&\ldots &K(x_{1},s_{n})\\\dots &\dots &\dots &\dots \\K(x_{n},s_{1})&K(x_{n},s_{2})&\ldots &K(x_{n},s_{n})\end{vmatrix}}}$.

Для вычисления ${\displaystyle A_{m}}$ и ${\displaystyle B_{n}(x,s)}$ вместо формул (14), (15) можно воспользоваться следующими рекуррентными соотношениями:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=1,\quad B_{0}(x,s)=K(x,s),\quad A_{m}=\int _{a}^{b}B_{m-1}(s,s)\,ds,\\B_{m}(x,s)=K(x,s)A_{m}-m\int _{a}^{b}K(x,t)B_{m-1}(t,s)\,dt,\\m=1,2,\dots .\end{aligned}}}$

Ряды (12) и (13) называются рядами Фредгольма. Функцию ${\displaystyle D(\lambda )}$ называют определителем Фредгольма ядра ${\displaystyle K}$, Функцию ${\displaystyle D(x,s;\lambda )}$ – первым минором Фредгольма для ${\displaystyle D(\lambda )}$, a функцию (11) – резольвентой (или разрешающим ядром, или взаимным ядром) ядра ${\displaystyle K}$ (или уравнения ${\displaystyle (1)}$).

Обоснование упомянутых выше предельных переходов, которые приводят к формуле (10), было сделано Д. Гильбертом. Э. Фредгольм, построив формально ряды (12), (13), затем непосредственно строго доказал, что они сходятся для всех конечных значений параметра ${\displaystyle \lambda }$, a ряд (13), кроме того, сходится равномерно по ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle s}$ на квадрате ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$. Установление связи между функциями ${\displaystyle D(\lambda )}$ и ${\displaystyle D\left(x_{+};\lambda \right)}$ позволило ему доказать следующее предложение: если ${\displaystyle D(\lambda )\neq 0}$, то уравнение (1) имеет одно и только одно решение, которое выражается формулой (10).

Из этого предложения вытекает, что значение параметра ${\displaystyle \lambda }$, которое не является корнем определителя Фредгольма, есть регулярное значение для однородного уравнения, соответствующего уравнению (1):

${\displaystyle \varphi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)ds=0,\quad x\in [a,b],}$

т. е. это уравнение в рассматриваемом случае имеет лишь нулевое решение. Если ${\displaystyle \lambda }$ – корень уравнения ${\displaystyle D(\lambda )=0}$, то ${\displaystyle \lambda }$ есть полюс резольвенты (11) уравнения ${\displaystyle (1a)}$ и характеристическое число этого последнего уравнения. Чтобы построить по методу Фредгольма собственные функции, принадлежащие этому характеристическому числу, вводится понятие ${\displaystyle p}$-го минора ${\displaystyle D(\lambda )}$. Пусть

${\displaystyle B_{0}{\begin{pmatrix}x_{1},&\ldots ,&x_{p}\\s_{1},&\ldots ,&s_{p}\end{pmatrix}}=K{\begin{pmatrix}x_{1},&\ldots ,&x_{p}\\s_{1},&\ldots ,&s_{p}\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle \displaystyle B_{m}{\begin{pmatrix}x_{1},&\ldots ,&x_{p}\\s_{1},&\ldots ,&s_{p}\end{pmatrix}}=\int _{a}^{b}\dots \int _{a}^{b}K{\begin{pmatrix}x_{1},&\ldots ,&x_{p},&t_{1},&\ldots ,&t_{m}\\s_{1},&\ldots ,&s_{p},&t_{1},&\ldots ,&t_{m}\end{pmatrix}}\,dt_{1}\ldots \,dt_{m}}$.

Toгда ${\displaystyle p}$-м минором для ${\displaystyle D(\lambda )}$ называется ряд

${\displaystyle D\left({\begin{matrix}x_{1},&\ldots ,&x_{p}\\s_{1},&\ldots ,&s_{p}\end{matrix}};\lambda \right)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!}}B_{m}{\begin{pmatrix}x_{1},&\ldots ,&x_{p}\\s_{1},&\ldots ,&s_{p}\end{pmatrix}}\lambda ^{m+p},}$ (16)

который при ${\displaystyle p=1}$ обращается в ${\displaystyle D(x,s;\lambda )}$. Ряд (16) сходится абсолютно для всех конечных значений ${\displaystyle \lambda }$ и равномерно относительно ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{p}}$, ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{p}}$, удовлетворяющих неравенствам ${\displaystyle a\leqslant x_{n}\leqslant b}$, ${\displaystyle a\leqslant s_{n}\leqslant b}$, ${\displaystyle k=1,\ldots ,p}$. Пусть теперь ${\displaystyle \lambda _{0}}$ есть характеристическое число ядра ${\displaystyle K}$; ${\displaystyle D\left(\lambda _{0}\right)=0}$, ${\displaystyle \lambda _{0}\neq 0}$, так как ${\displaystyle D(0)=1}$. Пусть ${\displaystyle r}$ – кратность корня ${\displaystyle \lambda _{0}}$ уравнения ${\displaystyle D\left(\lambda _{0}\right)=0}$. Существует такое натуральное число ${\displaystyle q\leqslant r}$, что все миноры для ${\displaystyle D\left(\lambda _{0}\right)}$, порядок которых меньше ${\displaystyle q}$, тождественно равны нулю, а минор порядка ${\displaystyle q}$ отличен от нуля. Существует некоторая совокупность значений ${\displaystyle x_{1}^{\prime },\ldots ,x_{q}^{\prime },s_{1}^{\prime },\ldots ,s_{q}^{\prime }}$, таких, что

${\displaystyle D\left({\begin{matrix}x_{1}^{\prime },&\ldots ,&x_{q}^{\prime }\\s_{1}^{\prime },&\ldots ,&s_{q}^{\prime }\end{matrix}};\lambda _{0}\right)\neq 0}$.

Число ${\displaystyle g}$ называется рангом характеристического числа ${\displaystyle \lambda _{0}}$. Функции

${\displaystyle \varphi _{k}(x)={\frac {D\left({\begin{matrix}x_{1}^{\prime },&\ldots ,&x_{k-1}^{\prime },&x,&x_{k+1}',&\dots ,&x_{q}'\\s_{1}^{\prime },&\ldots ,&s_{k-1}^{\prime },&s_{k}^{\prime },&s_{k+1}^{\prime },&\ldots ,&s_{q}^{\prime }\end{matrix}};\lambda _{0}\right)}{D\left({\begin{matrix}x_{1}^{\prime },&\ldots ,&x_{q}^{\prime }\\s_{1}^{\prime },&\ldots ,&s_{q}^{\prime }\end{matrix}};\lambda _{0}\right)}}}$ (17)

являются линейно независимыми решениями уравнения (${\displaystyle 1_{0}}$).

Пусть характеристическому числу ${\displaystyle \lambda _{0}}$ принадлежат собственные функции ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{q}}$. Эти функции называются полной системой собственных функций уравнения ${\displaystyle \left(1{\text{а}}\right)}$ (или ядра ${\displaystyle K}$), принадлежащих числу ${\displaystyle \lambda _{0}}$, если любая другая собственная функция, принадлежащая этому числу, есть линейная комбинация функций ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{q}}$.

Если ${\displaystyle \lambda _{0}}$ является характеристическим числом однородного уравнения ${\displaystyle \left(1_{0}\right)}$ с paнгом ${\displaystyle q}$, то оно будет также собственным значением с рангом ${\displaystyle q}$ и для союзного с ${\displaystyle (1{\text{а}})}$ уравнения

${\displaystyle \psi (x)-\lambda _{0}\int _{a}^{b}K(s,x)\psi (s)\,ds=0,}$

причём полная система собственных функций уравнения ${\displaystyle (1{\text{а}})}$ определяется формулами (17), а для уравнения ${\displaystyle \left(1{\rm {b}}\right)}$– аналогичными формулами, построенными для союзного ядра ${\displaystyle K(s,x)}$.

Если ${\displaystyle \lambda _{0}}$ – характеристическое число ядра ${\displaystyle K}$ с рангом ${\displaystyle q}$, то уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда удовлетворяются условия:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\psi _{k}(t)dt=0,\quad k=1,2,\ldots ,q,}$ (18)

где ${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{q}}$ составляют полную систему собственных функций уравнения ${\displaystyle (1{\rm {{b})}}}$. Если условия (18) выполняются, то все решения уравнения (1) определяются формулой

${\displaystyle \displaystyle \varphi (x)=f(x)+\int _{a}^{b}H(x,s)f(s)ds+\sum _{k=1}^{q}c_{k}\varphi _{k}(x)}$,

где ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{q}}$ – произвольные постоянные, ${\displaystyle \left\{\varphi _{k}\right\}}$ – полная система собственных функций однородного уравнения ${\displaystyle \left(1_{0}\right)}$, а функция ${\displaystyle H}$ определяется равенством

${\displaystyle H(x,s)={\frac {D\left({\begin{matrix}x,&x_{1}^{\prime },&\ldots ,&x_{q}^{\prime }\\s,&s_{1}^{\prime },&\ldots ,&s_{q}^{\prime }\end{matrix}};\lambda _{0}\right)}{D\left({\begin{matrix}x_{1}^{\prime },&\ldots ,&x_{q}^{\prime }\\s_{1}^{\prime },&\ldots ,&s_{q}^{\prime }\end{matrix}};\lambda _{0}\right)}}}$.

Непрерывное ядро ${\displaystyle K}$ имеет не более счётного множества характеристических чисел, которые могут иметь предельную точку только при ${\displaystyle \lambda =\infty }$.

Сформулированные выше предложения для уравнения (1) называются теоремами Фредгольма. Эти теоремы Э. Фредгольм распространил на случай системы таких же уравнений, a также на случай одного класса ядер со слабой особенностью.

Из сопоставления теорем вытекает альтернатива Фредгольма.

Часто в теоремах Фредгольма вместо союзного уравнения ${\displaystyle \left(1{\rm {b}}\right)}$ рассматривают сопряжённое с (1) уравнение

${\displaystyle \displaystyle \psi (x)-{\bar {\lambda }}_{0}\int _{a}^{b}{\overline {K(s,x)}}\psi (s)\,ds=0}$.

В этом случае условия (18) заменяются условиями

${\displaystyle \displaystyle \int _{a}^{b}f(t){\overline {\psi _{k}(t)}}\,dt=0,\quad k=1,\ldots ,q}$.

Изложенный выше метод Фредгольма был обобщён Т. Карлеманом на случай, когда ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle K}$ в уравнении (1) предполагаются интегрируемыми с квадратом функциями. В этих предположениях справедливы сформулированные выше результаты Фредгольма.

Кроме метода последовательных приближений и метода Фредгольма для решения уравнения Фредгольма, Э. Шмидт под влиянием исследований Д. Гильберта разработал метод, основой которого является построение, независимо от теории Фредгольма, теории уравнения (1) с симметричным действительным ядром.

Исследования Д. Гильберта и Э. Шмидта подготовили почву для абстрактного изложения теории Фредгольма. Д. Гильберт обратил внимание на то, что теория Фредгольма в основном опирается на свойство т. н. полной непрерывности интегрального преобразования с ядром ${\displaystyle K}$. Это свойство Д. Гильберт сформулировал для билинейных форм. Ф. Pиcc (Рисс. 1936) показал, что основные результаты теории Фредгольма остаются в силе, если в уравнении (1) интегральный оператор заменить произвольным вполне непрерывным оператором, действующим в полном функциональном пространстве. Исследования Ф. Рисса были пополнены Ю. Шаудером (Schauder. 1930) с помощью введения понятия сопряжённого оператора в банаховом пространстве, что и дало возможность окончательной абстрактной формулировки в пространствах Банаха аналогов теорем Фредгольма. Эти теоремы часто называют теоремами Рисса – Шаудера. Оператор ${\displaystyle V}$, участвующий в нижеприведённых формулировках этих теорем, предполагается действующим в банаховом пространстве ${\displaystyle E}$; через ${\displaystyle E^{*}}$ обозначено банахово пространство, сопряжённое с ${\displaystyle E}$, а через ${\displaystyle V^{*}}$ – сопряжённый оператор.

Теорема 1. Однородное уравнение

${\displaystyle \varphi -V\varphi =0,\quad \varphi \in E,}$ (19)

и сопряжённое с ним уравнение

${\displaystyle \psi -V^{*}\psi =0,\quad \psi \in E^{*},}$

имеют лишь нулевые решения или одинаковое конечное число линейно независимых решений ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{q}}$, ${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{q}}$.

Теорема 2. Для разрешимости неоднородного уравнения

${\displaystyle \Phi -\lambda V\varphi =f,\quad f,\varphi \in E,}$

необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle \varphi _{k}(f)=0}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,q}$; если эти условия выполнены и ${\displaystyle \varphi _{0}}$ – какое-либо решение уравнения (21), то его общее решение имеет вид

${\displaystyle \displaystyle \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{q}c_{k}\varphi _{k}}$,

где ${\displaystyle c_{k}}$ – произвольные постоянные.

Теорема 3. Каково бы ни было ${\displaystyle r\neq 0}$, круг ${\displaystyle \mid \lambda \mid \leqslant r}$содержит разве лишь конечное число характеристических значений оператора ${\displaystyle V}$, т. е. значений ${\displaystyle \lambda }$, для которых уравнение ${\displaystyle \varphi -\lambda V=0}$ имеет отличные от нуля решения.

Эти теоремы дают возможность обосновать справедливость теорем Фредгольма для уравнения (1) в случае различных конкретных классов интегрального оператора (2). Например, если заданные и искомая функции интегрируемы с квадратом.

В качестве области интегрирования вместо отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ в уравнении (1) можно рассматривать некоторое ограниченное или неограниченное измеримое множество ${\displaystyle D}$ в пространстве любого числа измерений. Вместо обычного интеграла можно брать интеграл Стилтьеса относительно неотрицательной меры.