Интегральное уравнение с симметричным ядром

Интегра́льное уравне́ние с симметри́чным ядро́м, интегральное уравнение с симметричным действительным ядром

${\displaystyle K(x,s)=K(s,x)}$.

Теория линейных интегральных уравнений с симметричным и действительным ядром была впервые построена Д. Гильбертом (Hilbert. 1912^[1]) с привлечением теории симметричных квадратичных форм с помощью перехода от конечного числа переменных к бесконечному. Затем Э. Шмидт (Schmidt. 1907) предложил более элементарный метод обоснования результатов Д. Гильберта. Поэтому теорию интегральных уравнений с симметричным ядром часто называют также теорией Гильберта – Шмидта. Значительное ослабление ограничений, налагаемых в этой теории на заданные и искомые элементы уравнения, было достигнуто Т. Карлеманом (см. ниже).

Пусть имеется интегральное уравнение 2-го рода с действительным симметричным ядром:

${\displaystyle \varphi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)\,ds=f(x),\quad x\in [a,b].}$ (1)

При построении теории интегральных уравнений с симметричным ядром достаточно предполагать, что симметричное ядро ${\displaystyle K}$ измеримо на квадрате ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{a}^{b}\mid K(x,s)\mid ^{2}\,dx\,ds<\infty ,}$ (2)

а свободный член ${\displaystyle f}$ и искомая функция ${\displaystyle \varphi }$ – интегрируемые с квадратом функции на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ (интегралы понимаются в смысле Лебега).

Разработка теории интегральных уравнений с симметричным ядром начинается с изучения ряда общих свойств собственных чисел и собственных функций однородного симметричного интегрального уравнения:

${\displaystyle \varphi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)\,ds=0,\quad x\in [a,b].}$ (3)

А именно, доказывается, что: уравнение (3) обладает по крайней мере одним собственным числом (когда ${\displaystyle K}$ почти всюду не равно нулю); собственные функции, принадлежащие различным собственным числам, ортогональны; собственные числа действительны; ввиду действительности ядра без ограничения общности можно предполагать, что собственные функции действительны; на любом конечном отрезке значений параметра ${\displaystyle \lambda }$ может находиться лишь конечное множество собственных чисел.

Множество всех собственных чисел уравнения (3) называется спектром этого уравнения. Спектр – непустое конечное или счётное множество чисел

${\displaystyle \left\{\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{n},\ldots \right\}}$; каждому числу ${\displaystyle \mu _{n}}$ спектра соответствует конечное множество линейно независимых собственных функций. Собственные числа и собственные функции можно расположить в виде последовательностей:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lllll}\lambda _{1},&\lambda _{2},&\ldots ,&\lambda _{m},&\ldots \\\varphi _{1},&\varphi _{2},&\ldots ,&\varphi _{m},&\ldots \end{array}}\right\}}$ (4)

так, что абсолютные величины собственных чисел не убывают: ${\displaystyle \mid \lambda _{k}\mid \leqslant \mid \lambda _{k+1}\mid }$; каждое собственное число повторяется столько раз, сколько собственных функций ему соответствует. Поэтому каждому числу ${\displaystyle \lambda _{k}}$ в (4) соответствует лишь одна собственная функция. Можно считать, что система функций ${\displaystyle \left\{\varphi _{k}\right\}}$ ортонормирована. Последовательности (4) называются системой собственных чисел и собственных функций симметричного ядра ${\displaystyle K}$ или уравнения (3). Нахождение этой системы равносильно полному решению однородного симметричного интегрального уравнения (3).

Ряд Фурье ядра ${\displaystyle K(x,s)}$, рассматриваемого как функция от ${\displaystyle s}$ относительно ортонормированной системы ${\displaystyle \left\{\varphi _{k}(s)\right\}}$, имеет вид

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(s)}{\lambda _{k}}}.}$ (5)

Так составленный ряд из системы собственных чисел и собственных функций симметричного ядра ${\displaystyle K}$ называется билинейным рядом ядра ${\displaystyle K}$ или билинейным разложением ядра ${\displaystyle K}$ по его собственным функциям. Этот ряд сходится в среднем к ядру ${\displaystyle K}$, т. е.

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}\left[K(x,s)-\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}^{2}\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(s)\right]\,dx\,ds=0}$.

Если же билинейный ряд (5) сходится равномерно, то

${\displaystyle K(x,s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(s)}{\lambda _{k}}}}$.

В частности, это последнее равенство всегда имеет место, если ядро обладает лишь конечным множеством собственных чисел. В этом случае ядро ${\displaystyle K}$ является вырожденным. Имеет место и обратное утверждение: вырожденное симметричное ядро имеет конечное множество собственных чисел (и, следовательно, конечное множество собственных функций). Билинейный ряд непрерывного на квадрате ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$ ядра ${\displaystyle K}$ с положительными собственными числами сходится равномерно.

Зная систему (4) собственных чисел и собственных функций, можно построить решение неоднородного уравнения (1). Имеют место следующие теоремы.

Если ${\displaystyle \lambda }$ не является собственным числом ядра ${\displaystyle K}$, то симметричное интегральное уравнение (1) имеет единственное решение ${\displaystyle \varphi }$, выражаемое формулой

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f_{k}}{\lambda _{k}-\lambda }}\varphi _{k}(x),}$ (6)

где ${\displaystyle \lambda _{k}}$ – собственные числа, ${\displaystyle f_{k}}$ – коэффициенты Фурье функции ${\displaystyle f}$ относительно ортонормированной системы ${\displaystyle \left\{\varphi _{m}\right\}}$ собственных функций ядра, т. е.

${\displaystyle f_{k}=\int _{a}^{b}f(s)\varphi _{k}(s)\,ds,\quad k=1,2,\ldots }$

Пусть ${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}}$ – собственное число ядра ${\displaystyle K}$; тогда симметричное интегральное уравнение (1) разрешимо лишь в случае, если удовлетворяются условия

${\displaystyle f_{k}=\int _{a}^{b}f(s)\varphi _{k}(s)\,ds=0,\quad k=1,2,\ldots ,q}$

где ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{q}}$ – собственные функции, принадлежащие собственному числу ${\displaystyle \lambda _{1}}$. При соблюдении этих условий все решения уравнения (1) выражаются формулой

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \sum _{k=q+1}^{\infty }{\frac {f_{k}}{\lambda _{k}-\lambda }}\varphi _{k}(x)+\sum _{k=1}^{q}c_{k}\varphi _{k}(x),}$ (7)

где ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{q}}$ – произвольные постоянные.

Если ядро ${\displaystyle K}$ имеет бесконечное множество собственных чисел и, следовательно, в правых частях формул (6), (7) стоят бесконечные ряды, то они сходятся в среднем. Если от ядра ${\displaystyle K}$ дополнительно потребовать, что оно удовлетворяет условию

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mid K(x,s)\mid ^{2}\,ds\leqslant {\text{const}},\quad x\in [a,b]}$,

то упомянутые ряды будут сходиться абсолютно и равномерно.

Формулы (6) и (7) называются формулами Шмидта. Большая часть теории интегральных уравнений с симметричным ядром легко распространяется и на комплекснозначные функции. В этом случае аналогом действительного симметричного ядра является эрмитово ядро: ${\displaystyle {\overline {K(x,s)}}=K(s,x)}$.

Если известна система (4) собственных чисел и собственных функций симметричного ядра ${\displaystyle K}$, то можно легко исследовать симметричное уравнение Фредгольма 1-го рода

${\displaystyle \int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)\,ds=f(x),\quad x\in [a,b].}$ (8)

Пусть, как и выше, симметричное ядро ${\displaystyle K}$ уравнения (8) – интегрируемая с квадратом функция на квадрате ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$, а правая часть ${\displaystyle f}$ и искомое решение ${\displaystyle \varphi }$ – такие же функции на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Симметричное ядро называется полным, если система его собственных функций ${\displaystyle \left\{\varphi _{m}\right\}}$ полна (замкнута).

Теорема Пикара. Пусть ${\displaystyle K(x,s)}$ – полное ядро. Тогда для разрешимости уравнения (8) необходимо и достаточно, чтобы ряд

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{2}\mid f_{k}\mid ^{2}}$,

где ${\displaystyle f_{k}}$ – коэффициенты Фурье функции ${\displaystyle f}$, сходился. При выполнении этого условия решение (единственное) представимо в виде

${\displaystyle \varphi (x)=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}f_{k}\varphi _{k}(x)}$,

причём последний ряд сходится в среднем.

Т. Карлеман построил теорию при менее ограничительных условиях на симметричное ядро ${\displaystyle K}$, чем у Д. Гильберта и Э. Шмидта. Эти условия следующие:

1) ${\displaystyle \int _{a}^{b}K^{2}(x,s)\,ds}$ существует в смысле Лебега и

${\displaystyle \lim _{y\rightarrow x}\int _{a}^{b}[K(y,s)-K(x,s)]^{2}\,ds=0}$

для любого ${\displaystyle x\neq x_{i}}$, где ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\}}$ – некоторая последовательность точек, которая может иметь конечное число предельных точек; 2) может существовать конечное множество точек ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in \{x_{i}\}}$, в окрестности которых функция

${\displaystyle \sigma ^{2}(x)=\int _{a}^{b}K^{2}(x,s)\,ds}$

не интегрируема, но она интегрируема на множестве ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }}$, оставшемся после удаления из отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ интервалов ${\displaystyle (s_{i}-\varepsilon ,s_{i}+\varepsilon )}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, где ${\displaystyle \varepsilon }$ – произвольное достаточно малое положительное число.

Пусть ${\displaystyle K_{\varepsilon }(x,s)}$ – функция, которая равна нулю на множестве точек ${\displaystyle \left\{(x,s)\right\}}$ таких, что ${\displaystyle \mid x-s_{i}\mid \leqslant \varepsilon }$, ${\displaystyle \mid s-s_{i}\mid \leqslant \varepsilon }$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, a вне этого множества в квадрате ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$ совпадает с ядром ${\displaystyle K}$ уравнения (1). Идея метода Карлемана заключается в следующем: взамен уравнения (1) рассматривается линейное интегральное уравнение второго рода с ядром ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$. Изучив спектр и решения этого уравнения, затем с помощью перехода пределу при ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$ исследуется спектр и решения уравнения (1).