Альтернатива Фредгольма

Альтернати́ва Фредго́льма, альтернативное утверждение, вытекающее из теорем Фредгольма. В случае линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода

${\displaystyle \varphi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)ds=f(x),\quad x\in [a,b],\;\;}$ (1)

альтернатива Фредгольма утверждает: либо уравнение (1) и сопряжённое с ним уравнение

${\displaystyle \psi (x)-{\bar {\lambda }}\int _{a}^{b}{\overline {K(s,x)}}\psi (s)ds=g(x),\quad x\in [a,b],\;\;}$ (2)

имеют единственные решения ${\displaystyle \varphi ,\psi }$, каковы бы ни были известные функции ${\displaystyle f,g}$, либо соответствующие однородные уравнения

${\displaystyle \varphi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)ds=0,}$

${\displaystyle \psi (x)-{\bar {\lambda }}\int _{a}^{b}{\overline {K(s,x)}}\psi (s)ds=0\;}$

имеют ненулевые решения, причём число линейно независимых решений конечно и одинаково для обоих уравнений.

Во втором случае для того чтобы уравнение (1) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\overline {\psi _{k}(x)}}dx=0,\qquad k=1,\ldots ,n}$,

где ${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}$ – полная система линейно независимых решений уравнения ${\displaystyle (2')}$. При этом общее решение уравнения ${\displaystyle (1)}$ имеет вид

${\displaystyle \varphi (x)=\varphi _{*}(x)+\sum _{k=1}^{n}c_{k}\varphi _{k}(x)}$,

где ${\displaystyle \varphi _{k}}$ – какое-нибудь решение уравнения (1), ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots }$, ${\displaystyle \varphi _{n}}$ – полная система линейно независимых решений уравнения (1’), ${\displaystyle c_{k}}$ – произвольные постоянные. Сходные утверждения имеют место и для уравнения (2).

Пусть ${\displaystyle T}$ – непрерывный линейный оператор, отображающий банахово пространство ${\displaystyle E}$ в себя; ${\displaystyle E^{*}}$, ${\displaystyle T^{*}}$ – соответствующие сопряжённые пространство и оператор. Рассматриваются уравнения:

${\displaystyle T(x)=y,\qquad x,y\in E,\;}$ (3)

${\displaystyle T^{*}(g)=f,\qquad g,f\in E^{*},}$ (4)

${\displaystyle T(x)=0,\qquad x\in E,}$

${\displaystyle T^{*}(g)=0,\qquad g\in E^{*}.}$

Справедливость альтернативы Фредгольма для оператора ${\displaystyle T}$ означает следующее: 1) либо уравнения (3) и (4) разрешимы, каковы бы ни были их правые части, и тогда их решения единственны; 2) либо однородные уравнения (3’) и (4’) имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ и ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$ соответственно; в этом случае для разрешимости уравнения (3) соответственно уравнения (4), необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle g_{k}(y)=0}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$, соответственно ${\displaystyle f\left(x_{k}\right)=0}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$; при этом общее решение уравнения (3) даётся равенством

${\displaystyle x=x^{*}+\sum _{k=1}^{n}c_{k}x_{k}}$,

а общее решение уравнения (4) – равенством

${\displaystyle g=g^{*}+\sum _{k=1}^{n}c_{k}g_{k}}$,

где ${\displaystyle x^{*}}$ (соответственно ${\displaystyle g^{*}}$) – какое-нибудь решение уравнения (3) [уравнения (4)], а ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$ – произвольные постоянные.

Каждое из следующих двух условий необходимо и достаточно, чтобы для оператора ${\displaystyle T}$ имела место альтернатива Фредгольма: 1) оператор ${\displaystyle T}$ представим в форме

${\displaystyle T=W+V}$,

где ${\displaystyle W}$ – оператор, имеющий двусторонний непрерывный обратный, a ${\displaystyle V}$ – вполне непрерывный оператор; 2) оператор ${\displaystyle T}$ представим в форме

${\displaystyle T=W_{1}+V_{1}}$,

где ${\displaystyle W_{1}}$ – оператор, имеющий двусторонний непрерывный обратный, а ${\displaystyle V_{1}}$ – конечномерный оператор.