Иррациональное число

Иррациона́льное число́, число, не являющееся рациональным, т. е. целым или дробным числом. Геометрически иррациональное число выражает собой длину отрезка, несоизмеримого с отрезком единичной длины. О существовании несоизмеримых отрезков было известно ещё в древности, например о том, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы, что равносильно иррациональности числа ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Термин ввёл немецкий математик М. Штифель (1544). Иррациональность числа ${\displaystyle \pi }$ была установлена И. Ламбертом (1766), числа ${\displaystyle \epsilon }$ – Ш. Эрмитом (1873). Строгая теория иррациональных чисел была построена во 2-й половине 19 в. Иррациональные числа разделяют на иррациональные алгебраические числа и трансцендентные числа.

Всякое действительное число может быть представлено десятичной дробью, при этом иррациональные числа и только они представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Например,

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1,41421356237...,\ \pi =3,1415926523...,\ e=2,718281828..}$.

Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума, оно всюду плотно на действительной прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.