Абсолютная величина

Абсолю́тная величина́ (модуль) действительного числа ${\displaystyle a}$, неотрицательное число (обозначается ${\displaystyle |a|}$), определяемое следующим образом: если ${\displaystyle a\geqslant 0}$, то ${\displaystyle |a|=a}$; если ${\displaystyle a<0}$, то ${\displaystyle |a|=-a}$.

Абсолютная величина (модуль) комплексного числа ${\displaystyle z=x+iy}$ (${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ – действительные числа) – число ${\displaystyle +{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$. Для абсолютной величины имеют место следующие соотношения:

${\displaystyle {\begin{aligned}|a|=|-a|,\quad |a|^{2}=|a^{2}|=a^{2},\\|a|-|b|\leqslant |a+b|\leqslant |a|+|b|,\\|a|-|b|\leqslant |a-b|\leqslant |a|+|b|,\\|a\cdot b|=|a|\cdot |b|,\quad {\text{а при }}b\neq 0\ {\frac {|a|}{|b|}}=\left|{\frac {a}{b}}\right|.\end{aligned}}}$

Об обобщении понятия абсолютной величины на случай произвольного тела см. статью Абсолютное значение.